En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:
Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints.
Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.
Exemple
La indeterminació
apareix als següents límits:
Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:[1]
Indeterminació ![{\displaystyle 1^{\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988869a0362e128b4af50b11e2ad596ac5fef5bd)
Existeix una fórmula per evitar la indeterminació
.
Siguin
i
dues funcions amb límits
i
quan
(sent
), aleshores
En aquest cas,
Per exemple,
Aplicant la fórmula,
Indeterminació ![{\displaystyle \infty /\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaffde6238859f3f2491e6517098f645987794c)
- Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits).[2] Per exemple,
Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:
Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:
- Quocient de polinomis: quan
, apareix la indeterminació
en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin
i
dos polinomis amb graus
i
, respectivament, aleshores:[3]
sent
i
els coeficients principals del polinomis
i
, respectivament.
En el tercer cas,
, el signe de l'infinit és
.
En el cas
, es procedeix de manera semblant.
Indeterminació ![{\displaystyle \infty -\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2de5209a9f5b3bab9a466abf9221e9c91755020)
Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit.
Per exemple,
Però,
Indeterminació ![{\displaystyle \infty ^{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f911748ad82beb098e18fd86089f22a4d25688)
Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.[2]
Per exemple,
No s'ha pogut entendre (MathML amb SVG o PNG alternatiu (recomanat per a navegadors moderns i eines d'accessibilitat): Resposta invàlida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/ca.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^\frac{1}{x}= \lim_{x\to +\infty} e^\frac{\ln(x)}{x} = e^0 =1 }
Taula de formes indeterminades
La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.
Forma indeterminada
|
Condicions
|
Transformació a 0/0
|
Transformació a ∞/∞
|
|
|
—
|
|
|
|
|
—
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vegeu també
Referències