Epämääräinen muoto

Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".

Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä ${\displaystyle 0^{0}$ ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.

Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:^[1]

${\displaystyle {\frac {0}{0},~{\frac {\infty }{\infty },~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ ja }\infty ^{0}.}$

Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.

Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos

${\displaystyle \lim _{x\to C}f(x)=a}$ ja ${\displaystyle \lim _{x\to C}g(x)=b}$,

on

${\displaystyle \lim _{x\to C}f(x)-g(x)=a-b}$ ja ${\displaystyle \lim _{x\to C}{\frac {f(x)}{g(x)}={\frac {a}{b}$,

olivatpa f ja g mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.

Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:

Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja: ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x=+\infty }$ et ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{2}=+\infty }$.

• Kaikilla reaaliluvilla ${\displaystyle x\neq 0}$ on ${\displaystyle {\dfrac {x}{x^{2}={\dfrac {1}{x}$. Niinpä ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x}{x^{2}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {1}{x}=0}$.
• Kaikilla reaaliluvilla ${\displaystyle x\neq 0}$, on ${\displaystyle {\dfrac {x^{2}{x}=x}$. Niinpä ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x^{2}{x}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty }$.

Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla, ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle x^{2}$, on sama raja-arvo ${\displaystyle +\infty }$, kun ${\displaystyle x\to +\infty }$, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään ${\displaystyle f(x)=x}$ ja ${\displaystyle g(x)=Ax}$, missä A on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo ${\displaystyle \infty }$, kun ${\displaystyle x\to \infty }$, mutta osamäärien raja-arvot ovat

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{g(x)}=A}$ ja

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {g(x)}{f(x)}=1/A}$,

olipa A mikä positiivinen luku tahansa.

Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on ${\displaystyle \infty }$. Tämän vuoksi lauseketta ${\displaystyle \infty /\infty }$ sanotaan epämääräiseksi muodoksi.

Olkoot ${\displaystyle (u_{n})}$ ja ${\displaystyle (v_{n})}$ kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville ${\displaystyle n}$ siten, että ${\displaystyle u_{n}=n}$ ja ${\displaystyle v_{n}=n^{2}$. Täten on siis ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty }$ ja ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }v_{n}=+\infty }$.

Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla ${\displaystyle n}$ on ${\displaystyle u_{n}-v_{n}=n-n^{2}=n(1-n)}$. Koska ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n=+\infty }$ ja ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(1-n)=-\infty }$, saadaan raja-arvojen tuloksi ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n(1-n)=\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=-\infty }$.

Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla ${\displaystyle n}$ on ${\displaystyle v_{n}-u_{n}=n^{2}-n=n(n-1)}$. Koska ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n=+\infty }$ ja ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(n-1)=+\infty }$, saadaan raja-arvojen tuloksi${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n(n-1)=\lim _{n\to +\infty }(v_{n}-u_{n})=+\infty }$.

Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on ${\displaystyle +\infty }$, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on ${\displaystyle \infty }$. Tämän vuoksi myös lauseke ${\displaystyle \infty -\infty }$ kuuluu epämääräisiin muotoihin.

Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että ${\displaystyle c}$ kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon ${\displaystyle \mathbb {R} \cup {\infty ,-\infty }$. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Etsitty raja-arvo	Ehto ${\displaystyle f}$:n avulla	Ehto ${\displaystyle g}$:n avulla
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\big (}f(x)-g(x){\big )}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=+\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=+\infty }$
${\displaystyle 0/0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0}$
${\displaystyle \infty /\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }$
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }$
${\displaystyle 1^{\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }$
${\displaystyle \infty ^{0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0}$
${\displaystyle 0^{0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0}$

Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot ${\displaystyle f(x)=x}$ ja ${\displaystyle g(x)=x}$. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Raja-arvot
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-\infty =-\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\infty -x=\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-x=0}$
${\displaystyle 0/0}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}x/0=\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}0/x=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}x/x=1}$
${\displaystyle \infty /\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/\infty =0}$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\infty /x=\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/x=1}$
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \infty =\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }0\cdot x=0}$
${\displaystyle 1^{\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to 1+}x^{\infty }=\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to 1-}x^{\infty }=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }1^{x}=1}$
${\displaystyle \infty ^{0}$	${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{0}=1}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}\infty ^{x}=\infty }$
${\displaystyle 0^{0}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{0}=1}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0+}0^{x}=0}$	${\displaystyle \lim _{x\to 0+}x^{x}=1}$

Epämääräinen muoto ${\displaystyle 1^{\infty }$ liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}$. Neperin luku e määritellään seuraavasti:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }(1+1/n)^{n}$,

ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle ${\displaystyle e^{x}$ pätee:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}$^[2]

Jos määritellään lukujonot ${\displaystyle A(n)=1+x/n}$ ja ${\displaystyle B(n)=n}$, saadaan

${\displaystyle A(n)\lim _{n\to \infty }(1+x/n)=0}$, ja tietenkin

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n=\infty }$,

ja kuitenkin ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A(n)^{B^{n}$ voi x:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.

Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$.^[3]

Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun ${\displaystyle h\to 0}$, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja x:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.