Unitární operátor
Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor
U
:
H
→
K
{\displaystyle U:{\mathcal {H}\rightarrow {\mathcal {K}
splňující vztah:
U
∗
=
U
−
1
{\displaystyle U^{*}=U^{-1}
, tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde
H
{\displaystyle {\mathcal {H}
a
K
{\displaystyle {\mathcal {K}
jsou Hilbertovy prostory .)
Vlastnosti
Alternativní definice
Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.
U
{\displaystyle U}
je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy
U
∗
=
U
−
1
{\displaystyle U^{*}=U^{-1}
U
{\displaystyle U}
je surjektivní a je izometrií , tzn.:
‖
U
x
‖
=
‖
x
‖
∀
x
∈
H
{\displaystyle \|Ux\|=\|x\|\ \forall x\in {\mathcal {H}
U
{\displaystyle U}
je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.:
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
U
x
,
U
y
⟩
∀
x
,
y
∈
H
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle Ux,Uy\rangle \ \forall x,y\in {\mathcal {H}
Důkaz:
(
1.
)
⇒
(
3.
)
⇒
(
2.
)
{\displaystyle (1.)\Rightarrow (3.)\Rightarrow (2.)}
U
∗
=
U
−
1
⇒
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
U
−
1
U
x
,
x
⟩
=
⟨
U
∗
U
x
,
x
⟩
=
⟨
U
x
,
U
x
⟩
⇒
‖
x
‖
=
‖
U
x
‖
{\displaystyle U^{*}=U^{-1}\Rightarrow \langle x,x\rangle =\langle U^{-1}Ux,x\rangle =\langle U^{*}Ux,x\rangle =\langle Ux,Ux\rangle \Rightarrow \|x\|=\|Ux\|}
Protože platí
U
∗
∗
=
(
U
−
1
)
∗
=
(
U
∗
)
−
1
{\displaystyle U^{**}=(U^{-1})^{*}=(U^{*})^{-1}
, je
U
∗
{\displaystyle U^{*}
též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.
(
2.
)
⇒
(
1.
)
{\displaystyle (2.)\Rightarrow (1.)}
Označme
I
{\displaystyle I}
identické zobrazení a připomeňme, že:
‖
x
‖
2
=
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }
.
⟨
I
x
,
x
⟩
=
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
T
x
,
T
x
⟩
=
⟨
T
∗
T
x
,
x
⟩
∀
x
∈
H
⇒
I
=
T
∗
T
{\displaystyle \langle Ix,x\rangle =\langle x,x\rangle =\langle Tx,Tx\rangle =\langle T^{*}Tx,x\rangle \ \forall x\in {\mathcal {H}\Rightarrow I=T^{*}T}
Z čehož máme:
T
T
∗
=
T
T
∗
T
T
−
1
=
T
I
T
−
1
=
T
T
−
1
=
I
⇒
T
∗
=
T
−
1
{\displaystyle TT^{*}=TT^{*}TT^{-1}=TIT^{-1}=TT^{-1}=I\Rightarrow T^{*}=T^{-1}
. ∎
Další vlastnosti
Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:
Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi
K
{\displaystyle {\mathcal {K}
.
Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}
. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.
Příklady
Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
Rotace v
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}
.
V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
Fourierova transformace v prostoru L2 (ℝ) .
exp
(
i
H
)
{\displaystyle \exp {(iH)}
, kde
H
{\displaystyle H}
je hermitovský operátor a
exp
{\displaystyle \exp {}
značí exponenciálu operátoru.
Související články
Antiunitární operátor
Wignerova věta
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd