幺正算符
在泛函分析 中,幺正算符 (英語:unitary operator ,或称酉算符 )是定义在希尔伯特空间 上的有界线性算符 U : H → H ,满足如下规律:
U
∗
U
=
U
U
∗
=
I
{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}
其中 U ∗ 是 U 的厄米转置 , 而 I : H → H 是恒等算符 。 幺正算符具有如下性质:
U 保持了希尔伯特空间 上内积〈 , 〉的不变性, 即对于希尔伯特空间 上的任意矢量 x 和y ,都有:
⟨
U
x
,
U
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
.
{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}
U 是满射 的。
这两个条件还可以用两个较弱的但是等价的定义表示出来:
U 保证了内积 的不变
U 是一个稠集 .
U保持内积不变可以推出U是个有界线性算符 ;而U是稠集 保证了U的逆U −1 的存在。而U −1 = U ∗ 是很明显的。
所以,幺正算符是希尔伯特空间 的自同构 ,即幺正算符保持空间结构的不变,比如说空间的线性叠加性和内积以及拓扑性质的不变。在群论中,一个给定希尔伯特空间 H 上的所有幺正算符组成了该空间的希尔伯特群 ,表示为Hilb(H )。
较弱的条件U ∗ U = I 说明算符U是等距算符。另一个条件U U ∗ = I 说明算符是伴同等距算符[1] 。
单位元 是单位算符的一般化形式。在单位元*-代数 中, 其中的单元U 被叫做 单位元, 当满足如下条件:
U
∗
U
=
U
U
∗
=
I
{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}
其中 I 是单位算符。[2]
范例
在一个R 2 上旋转是一个最简单但又很重要的幺正算符。旋转并不改变一个矢量的长度或者两个矢量的夹角。这个算符还可以推广到R 3 中。
在一个复数 的矢量空间 C 里,乘以一个绝对值 是1的数,也就是,一个数形式为 e i θ ,其中θ ∈ R ,就是一个幺正算符。θ 表示一个相位,相乘就是指乘以一个相位。注意到,θ 的值是以2π 为模,但并不影响我们相乘的结果,所以这些在C空间内独立的幺正算符是有周期性的。作为一个集合,这个周期对应的群,我们称作U(1)。
一般地说,酉矩阵 是在有限维的希尔伯特空间 下的幺正算符,所以,幺正算符的概念包括了酉矩阵的概念。正交矩阵 就是酉矩阵的一个特例,当酉矩阵中元素都为实数。他们是在R n 上的幺正算符。
在整数索引的序列空间
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}
上的双边变换算符 是单一的。一般而言,在一个希尔伯特空间中任何一个通过围绕标准正交基 变换作用的算符都是单一的。在有限维的情况下,这样的算符就是排列矩阵。单边变换 是一个等距算子 (isometry),他的共轭是一个半同等距算子(coisometry)。
傅里叶算符 是一个幺正算符,也就是,一个执行傅里叶变换 (有适当的归一化)的算符。这是由帕塞瓦定理 推得。
线性叠加性
幺正算符的叠加性并不是第一的性质, 也就是说并不是强加上去的性质, 而是可以从内积的线性叠加性和恒正行推导出来的性质:
⟨
λ
⋅
U
x
−
U
(
λ
⋅
x
)
,
λ
⋅
U
x
−
U
(
λ
⋅
x
)
⟩
{\displaystyle \langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle }
=
‖
λ
⋅
U
x
‖
2
+
‖
U
(
λ
⋅
x
)
‖
2
−
⟨
U
(
λ
⋅
x
)
,
λ
⋅
U
x
⟩
−
⟨
λ
⋅
U
x
,
U
(
λ
⋅
x
)
⟩
{\displaystyle =\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }
=
|
λ
|
2
⋅
‖
U
x
‖
2
+
‖
U
(
λ
⋅
x
)
‖
2
−
λ
¯
⋅
⟨
U
(
λ
⋅
x
)
,
U
x
⟩
−
λ
⋅
⟨
U
x
,
U
(
λ
⋅
x
)
⟩
{\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }
=
|
λ
|
2
⋅
‖
x
‖
2
+
‖
λ
⋅
x
‖
2
−
λ
¯
⋅
⟨
λ
⋅
x
,
x
⟩
−
λ
⋅
⟨
x
,
λ
⋅
x
⟩
{\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle }
=
0
{\displaystyle =0}
可以得到近似后
⟨
U
(
x
+
y
)
−
(
U
x
+
U
y
)
,
U
(
x
+
y
)
−
(
U
x
+
U
y
)
⟩
=
0
{\displaystyle \langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0}
.
单位谱性
任意幺正算符U 的谱在一个单位圆 上。换言之,对幺正算符谱上的任意复数λ 都有|λ | = 1 。
参见
脚注
^ Halmos 1982 ,Sect. 127, page 69
^
Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. 1986. ISBN 0824775694 .
参考文献
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