Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του ${\displaystyle {\rm {A}$, ${\displaystyle {\rm {B}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma }$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$.^{[1]:111[2]:134[3]:38}

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.

Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\rm {A}+{\hat {\rm {\Gamma }={\hat {\rm {B}+{\hat {\rm {\Delta }=180^{\circ }$.

Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η ${\displaystyle {\hat {\rm {A}$ είναι ίση με την εξωτερική της ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }$.

Οι γωνίες είναι ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }={\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }$.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\rm {A}+{\hat {\rm {\Gamma }=180^{\circ }$.
• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma B}={\widehat {\rm {A\Delta B}$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους ${\displaystyle ({\rm {I}_{1},\rho _{1})}$, ${\displaystyle ({\rm {I}_{2},\rho _{2})}$, ${\displaystyle ({\rm {I}_{3},\rho _{3})}$ και ${\displaystyle ({\rm {I}_{4},\rho _{4})}$ των τριγώνων ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma \Delta }$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta A}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta AB}$. Τότε ισχύει ότι
  • Το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}$ είναι ορθογώνιο, και
  • (Ιαπωνικό θεώρημα) ${\displaystyle \rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ με μήκη πλευρών ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

${\displaystyle {\rm {E}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )}$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν (δείτε εδώ).^[4]

• (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ ισχύει ότι^[5][6]

${\displaystyle {\rm {A\Gamma }\cdot {\rm {B\Delta }=\alpha \gamma +\beta \delta }$.

• (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {\rm {A\Gamma }{\rm {B\Delta }={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις

${\displaystyle {\rm {A\Gamma }={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }\quad }$ και ${\displaystyle \quad {\rm {B\Delta }={\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \gamma +\beta \delta }$.

• (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ όπου ${\displaystyle {\rm {I}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }$ και ${\displaystyle {\rm {B\Delta }$, ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {AI}\cdot {\rm {I\Gamma }={\rm {BI}\cdot {\rm {I\Delta }$.

• Η ακτίνα ${\displaystyle R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R={\frac {1}{4}{\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}$.

• Για την γωνία ${\displaystyle {\hat {\rm {A}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }$ ισχύει ότι^[7]

${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}={\frac {2{\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}{(\alpha \delta +\beta \gamma )},}$

${\displaystyle \cos {\hat {\rm {A}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )},}$

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\rm {A}{2}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )}$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγραγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο.
• Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο τραπέζιο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

• Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
• Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
• Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
• Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
• Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
• Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγεγραμμένο πολύγωνο
• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο