Περιγεγραμμένος κύκλος
Στην γεωμετρία , ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} }
και
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
.[1] :73-74 [2] :140-141 [3] :86 Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Απόδειξη ύπαρξης
Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Μετρικές σχέσεις
(Νόμος των ημιτόνων ) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
και ακτίνα
R
{\displaystyle R}
περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι
α
sin
A
=
β
sin
B
=
γ
sin
Γ
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }=2R.}
Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν
E
=
1
2
β
γ
sin
A
{\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}\beta \gamma \sin \mathrm {A} }
, έχουμε ότι
R
=
α
β
γ
4
E
{\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4\mathrm {E} }
,
και από τον τύπο του Ήρωνα [4]
R
=
α
β
γ
4
τ
⋅
(
τ
−
α
)
⋅
(
τ
−
β
)
⋅
(
τ
−
γ
)
{\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}
.
όπου
τ
=
1
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
α
2
(
β
2
+
γ
2
−
α
2
)
:
β
2
(
γ
2
+
α
2
−
β
2
)
:
γ
2
(
α
2
+
β
2
−
γ
2
)
.
{\displaystyle \alpha ^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right):\;\beta ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right):\;\gamma ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right).}
Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
cos
A
:
cos
B
:
cos
Γ
{\displaystyle \cos {\rm {A}:\;\cos {\rm {B}:\;\cos {\rm {\Gamma }
.
Αν
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και
ρ
{\displaystyle \rho }
η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε
ρ
⋅
R
=
α
β
γ
2
⋅
(
α
+
β
+
γ
)
{\displaystyle \rho \cdot R={\frac {\alpha \beta \gamma }{2\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}
.
Ανισοτικές σχέσεις
Αν
B
Γ
>
A
Γ
>
A
B
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {AB} }
, τότε
O
M
A
<
O
M
B
<
O
M
Γ
{\displaystyle \mathrm {OM_{A} <\mathrm {OM_{B} <\mathrm {OM_{\Gamma } }
.[1] : 74-75
Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο , τότε το περίκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου.[3] : 86
Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο , τότε το περίκεντρο είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου.[3] : 86
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , τότε το περίκεντρο είναι το μέσο της υποτείνουσας.[3] : 86
Σχετικά θεωρήματα
(Ευθεία του Όιλερ ) Το βαρύκεντρο
G
{\displaystyle \mathrm {G} }
, το ορθόκεντρο
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
και το περίκεντρο
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
είναι συγγραμμικά και
H
G
=
2
⋅
G
O
{\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO} }
.
(Θεώρημα του Όιλερ ) Αν
(
I
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )}
είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και
(
I
A
,
ρ
A
)
,
(
I
B
,
ρ
B
)
,
(
I
Γ
,
ρ
Γ
)
{\displaystyle (\mathrm {I_{A} ,\rho _{\mathrm {A} }),(\mathrm {I_{B} ,\rho _{\mathrm {B} }),(\mathrm {I_{\Gamma } ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })}
οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε
O
I
2
=
R
2
−
2
R
ρ
,
{\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho ,\quad }
O
I
A
2
=
R
2
+
2
R
ρ
A
,
{\displaystyle \mathrm {OI_{A} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad }
O
I
B
2
=
R
2
+
2
R
ρ
B
,
{\displaystyle \mathrm {OI_{B} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad }
και
O
I
Γ
2
=
R
2
+
2
R
ρ
Γ
.
{\displaystyle \quad \mathrm {OI_{\Gamma } ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.}
Αν
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
το ορθόκεντρο και
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
το περίκεντρο, τότε
O
H
2
=
9
R
2
−
(
α
2
+
β
2
+
γ
2
)
{\displaystyle \mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})}
.
(Θεώρημα Καρνό ) Αν
ρ
{\displaystyle \rho }
η ακτίνα του εγεγγραμμένου και
R
{\displaystyle R}
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και
O
M
A
{\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {A} } }
,
O
M
B
{\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {B} } }
και
O
M
Γ
{\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {\Gamma } } }
οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
O
M
A
+
O
M
B
+
O
M
Γ
=
R
+
ρ
{\displaystyle \mathrm {OM_{A} +\mathrm {OM_{B} +\mathrm {OM_{\Gamma } =R+\rho }
.
(Θεώρημα Νάγκελ ) Αν
A
H
A
,
B
H
B
,
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {AH_{A} ,\mathrm {BH_{B} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma } }
είναι τα ύψη του τριγώνου και
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
το περίκεντρο, τότε
H
A
H
B
⊥
O
Γ
,
{\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B} \perp \mathrm {O\Gamma } ,\quad }
H
B
H
Γ
⊥
O
A
,
{\displaystyle \mathrm {H_{B}H_{\Gamma } \perp \mathrm {OA} ,\quad }
και
H
Γ
H
A
⊥
O
B
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{\Gamma }H_{A} \perp \mathrm {OB} }
.
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1] : 77 [2] : 270
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1] : 76
(Ευθεία Σίμσον ) Για οποιοδήποτε σημείο
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A} ,\mathrm {P_{B} ,\mathrm {P_{\Gamma } }
στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.[2] : 272-273
Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:
Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
,
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
και
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
και ακτίνα το μέγιστο από τα
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
και
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
.
Βρίσκουμε τα σημεία τομής
T
1
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}
και
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{2}
των κύκλων με κέντρο το
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και το
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
.
Βρίσκουμε τα σημεία τομής
T
3
{\displaystyle \mathrm {T} _{3}
και
T
4
{\displaystyle \mathrm {T} _{4}
των κύκλων με κέντρο το
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και το
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
.
Χαράζουμε την ευθεία που ενώνει τα
T
1
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}
και
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{2}
, και τα
T
3
{\displaystyle \mathrm {T} _{3}
και
T
4
{\displaystyle \mathrm {T} _{4}
.
Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο.
Δείτε επίσης
Παραπομπές
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ 2,0 2,1 2,2 Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α' . Αθήνα.
↑ Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως) . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 44.
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd