Gaŭsa funkcio

Gaŭsa funkcio (nomita post Carl Friedrich Gauss) estas funkcio de formo:

${\displaystyle f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/c^{2}$

por iu reelaj konstantoj a>0, b kaj c.

Gaŭsaj funkcioj kun c²=2 estas propraj funkcioj de la konverto de Fourier. Ĉi tio signifas ke la konverto de Fourier de gaŭsa funkcio kun c²=2 estas la funkcio kies Konverto de Fourier estis prenita multiplikita per skalaro.

Gaŭsaj funkcioj estas inter tiuj funkcioj kiuj estas rudimentaj sed iliaj malderivaĵoj ne povas esti skribitaj per rudimentaj funkcioj. Tamen la nepropra integralo super la tuta reela linio povas esti komputita akurate:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}\,dx={\sqrt {\pi }$

Ĉi tiu kalkulo povas esti plenumita per la restaĵa teoremo de kompleksa analitiko, sed estas ankaŭ la alia simpla kaj maniero fari la kalkulon. Estu la valoro de ĉi tiu integralo I. Tiam

${\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy}$

La variablo de integralado de x al y en unu al la du multiplikataj integraloj. Nun ŝanĝu al ebenaj polusaj koordinatoj

${\displaystyle I^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}r\,dr\,d\theta =2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}r\,dr=\pi \int _{0}^{\infty }e^{-u}\,du=\pi }$

per la anstataŭo u=r², du=2rdr.

En la ĝenerala formo de la gaŭsa funkcio la nepropra integralo estas

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}\,dx=ac{\sqrt {2\pi }$

Aplikoj

La malderivaĵo de la gaŭsa funkcio estas la funkcio de eraro de Gauss.

Gaŭsaj funkcioj aperas en multaj ĉirkaŭtekstoj en la natursciencoj, la socia scienco, matematiko, kaj inĝenierado. Iu ekzemploj estas:

• En statistiko kaj teorio de probabloj, gaŭsa funkcio aperas kiel la denseca funkcio de la normala distribuo, kiu estas limiga probablodistribuo de sumo de multaj distribuoj, laŭ la centra limiga teoremo.

  La rilato kun la atendata valoro μ kaj varianco σ² estas a = 1/(σ√(2π)), b = μ, c = σ.

• Gaŭsa funkcio estas la onda funkcio de la tera stato de la kvantuma harmona oscilo.
• La molekulaj orbitumoj uzataj en komputa kemio estas linearaj kombinaĵoj de gaŭsaj funkcioj, nomataj kiel gaŭsaj orbitumoj.
• Matematike, la gaŭsa funkcio ludas gravan rolon en difino de la hermita polinomo.
• Sekve gaŭsaj funkcioj estas ankaŭ asociitaj kun la vakua stato en kvantuma kampa teorio.
• Gaŭsa elĵetaĵoj estas uzitaj en optikaj kaj mikroondaj sistemoj.
• Gaŭsaj funkcioj estas uzataj kiel antaŭ-glatigantaj kernoj en bilda procezado.

Vidu ankaŭ

• Funkcio de eraro
• Normala distribuo