Kirlo (matematiko)

En vektora kalkulo, kirlo de vektora kampo, kiu estas alia vektora kampo. Kirlo estas vektora operatoro kiu montras kurson de rotacio de vektora kampo: la direkton de la rotacia akso kaj la grandecon de la turnado. Ĝi povas ankaŭ esti priskribita kiel la cirkulada denseco.

Vortoj "turnado" kaj "rotacio" estas uzitaj ĉi tie por propraĵoj de vektora funkcio de pozicio; ili ne temas pri ŝanĝoj kun tempo.

Vektora kampo kiu havas nulan kirlon ĉie estas senkirla vektora kampo.

En matematiko la kirlo estas skribata kiel:

${\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} }$ aŭ ankoraŭ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \ ,}$

kie ${\displaystyle \nabla }$ estas la vektora diferenciala operatoro, kaj F estas la vektora kampo al kiu la kirlo estas aplikata.

En karteziaj koordinatoj, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ estas por F=[F_x, F_y, F_z]:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}{\partial y}-{\frac {\partial F_{y}{\partial z}\\\\{\frac {\partial F_{x}{\partial z}-{\frac {\partial F_{z}{\partial x}\\\\{\frac {\partial F_{y}{\partial x}-{\frac {\partial F_{x}{\partial y}\end{bmatrix}$

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj pozitivaj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco kirlo ne dependas de koordinatosistemo uzata. Tamen, la rezulto inversiĝas sub reflekto.

Simpla sed ne tute formala vojo por priskribi la elvolvitan formon de la kirlo estas skribi ĝin kiel la determinanto de jena matrico:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}&{\frac {\partial }{\partial y}&{\frac {\partial }{\partial z}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{bmatrix}$

kie i, j, kaj k estas la unuoblaj vektoroj por la x, y, kaj z aksoj respektive.

Propraĵoj

Estu a, b - konstantaj skalaroj, F, G - vektoraj kampoj, φ - skalara kampo. Do:

• ${\displaystyle \operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }$
• ${\displaystyle \operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} }$

  aŭ ${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )}$

• Diverĝenco de kirlo estas 0:

  ${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )=0}$ aŭ ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}$

• Se diverĝenco de F estas 0, do ekzistas G tia ke F estas kirlo de G:

  ${\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }$

• Se F estas gradiento de φ, do kirlo de F estas nulo:

  ${\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}$

• Se kirlo de F estas nulo, do ekzistas φ tia ke F estas gradiento de φ:

  ${\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi }$

• ${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \,\mathbf {dl} =\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} \,\mathbf {dS} \ }$ (laŭ teoremo de Green) .

Ekzemploj

• En vektora kampo kiu priskribas la linearajn rapidojn de ĉiu parto de solida turnanta disko, la kirlo havas la saman valoron en ĉiuj partoj de la disko.
• Ekvacioj de Maxwell estas skribataj kun uzo de kirlo.

Vidu ankaŭ

• Nabla operatoro
• Gradiento (matematiko)
• Diverĝenco
• Teoremo de Green
• Teoremo de Kelvino-Stokes
• Vektora kalkulo