Nombro de Skewes

En nombroteorio, termino nombro de Skewes povas signifi kelkajn nombregojn uzatajn de Stanley Skewes kiel superaj baroj por la plej malgranda pozitiva entjero x por kiu

π(x) > li(x)

kie π(x) estas la primo-kalkulanta funkcio kaj li(x) estas la integrala logaritma funkcio.

La nombroj trovitaj de Skewes estas nun nur de historia intereso, ĉar komputilaj kalkuloj donis multe malgrandajn nombrojn kaj tiel pli striktajn barojn. Kiel en 2007, ĉi tiuj kalkuloj sugestas ke la plej malgranda ĉi tia x estas proksime al 1,397·10³¹⁶.

Nombroj de Skewes

John Edensor Littlewood pruvis en 1914 ke estas ĉi tia nombro, kaj do, la unua ĉi tia nombro. La ankaŭ trovis ke signo de la diferenco π(x)-li(x) ŝanĝiĝas malfinie multfoje. Ĉiu ciferecaj datumoj tiam havataj sugestis ke ĉiam π(x) ≤ li(x), kvankam matematikistoj konataj kun la rimana ζ funkcio devus verŝajne kompreni ke fojaj esceptoj estis verŝajnaj pro kaŭzo donita pli sube. Pruvo de Littlewood tamen ne donis konkretan ĉi tian nombron x.

En 1933 Skewes pruvis ke, alprenanta ke la rimana hipotezo estas vera, ekzistas nombro x por kiu π(x) > li(x) pli malgranda ol

${\displaystyle e^{e^{e^{79}$

kiu nombro nun iam nomata kiel la unua nombro de Skewes, kiu estas proksimume egala al

${\displaystyle 10^{10^{8,85\times 10^{33}$

En 1955 Skewes, sen alpreno de la rimana hipotezo, pruvis ke devas ekzisti ĉi tia x pli malgranda ol

${\displaystyle 10^{10^{10^{963}$

kiu nombro nun iam nomata kiel la dua nombro de Skewes

Kvankam ambaŭ nombroj de Skewes estas granda kompare al plejparto de nombroj renkontitaj kutime en matematikaj pruvoj, neniu el ili estas proksima tiel granda kiel nombro de Graham.

Pli lastaj pritaksoj

Ĉi tiuj enormaj superaj baroj estas malpligrandigitaj konsiderinde per uzo de grandaskalaj komputilaj kalkuloj de nuloj de la rimana ζ funkcio. La unua pritakso por la reala valoro de la unua ĉi tia x estis donita de Lehman en 1966, kiu montris ke ie inter 1,53·10¹¹⁶⁵ kaj 1,65·10¹¹⁶⁵ estas pli ol 10⁵⁰⁰ najbaraj entjeroj x por kiuj π(x) > li(x).

Sen alpreno de rimana hipotezo, H. J. J. te Riele en 1987 pruvis la superan baron de 7·10³⁷⁰.

Pli bona proksimumaĵo estas 1,39822·10³¹⁶ esplorita de Bays kaj Hudson en 2000, kiu montris ke estas minimume 10¹⁵³ najbaraj entjeroj ie proksime al ĉi tiu valoro por kiuj π(x) > li(x), kaj sugestis ke estas verŝajne minimume 10³¹¹ da ili.

Chao Plymen en 2005 donis malgrandan plibonigon kaj korekton al la rezulto de Bays kaj Hudson.

Demichel en 2005 sugestis ke la unua ĉi tia x estas proksima la malmulte pli malgranda valoro 1,397162914·10³¹⁶, kvankam kiel en 2007 lia laboro ne estas publikigita aŭ sendepende kontrolita.

Bays kaj Hudson trovis kelkajn multe pli malgrandajn valorojn de x kie π(x) estas proksime al li(x); la ebleco ke tie estas π(x) > li(x) ankoraŭ ne estas tute forigita, kvankam komputilaj kalkuloj sugestas ke la ebleco malverŝajne ekzisti.

Ne estas certe konata konkreta valoro x ĉe kiu π(x) > li(x), kvankam komputilaj kalkuloj sugestas iujn konkretajn nombrojn kiuj sufiĉe verŝajne kontentigas ĉi tiun propraĵon.

La necertecoj en ĉi tiuj rezultoj estas pro tio ke la komputilaj kalkuloj de π(x) estas farataj per sumigo de termojn de malfinia sumo en la rimana formulo (vidu la formulon pli sube) ĝis iu termo kaj fortranĉante la reston, sed ne estas pruvoj ke la resto ne estas tro granda.

Wintner en 1941 montris ke la proporcio de entjeroj por kiu π(x) > li(x) estas pozitiva, kaj Rubinstein kak Sarnak en 1994 montris ke ĉi tiu proporcio estas proksimume 0,00000026, kiu estas surprize granda valoro konsiderante tion kiel malproksima estas la unua ekzemplo.

Rimana formulo

Bernhard Riemann donis eksplicitan formulon por π(x), kies ĉefaj termoj estas (ignorante iujn aspektojn de konverĝo)

${\displaystyle \pi (x)=li(x)-li({\sqrt {x})/2-\sum _{\rho }li(x^{\rho })}$ + pli malgrandaj termoj

kie la sumo estas tro ρ - eroj de malfinia aro de nuloj de la rimana ζ funkcio en la kritika filmo, kie la reela parto de ρ estas inter 0 kaj 1. La nuloj en la kritika filmo estas en kompleksaj konjugitaj paroj, do ankaŭ li(x^ρ) estas en kompleksaj konjugitaj paroj, kaj do la sumo estas reela.

La plej granda eraro termo en la proksimumado π(x) = li(x) (se la rimana hipotezo estas vera) estas li(x^1/2)/2, montranta ke li(x) estas kutime pli granda ol π(x). La aliaj termoj pli supre estas io pli malgranda, kaj ankaŭ havas malsamajn kompleksajn argumentojn (iliaj reelaj partoj havas malsamajn signojn) kaj do tiel plejparte interkompensiĝas dum sumado.

Iam tamen, sufiĉe multaj kaj grandaj el ili povas havi samtempe la saman signon de reela parto, kaj en ĉi tiu okazo ilia sumo povas esti pli granda ol li(x^1/2)/2. La kaŭzo de tio ke nombro de Skewes estas tiel granda estas ke ĉi tiuj pli malgrandaj termoj estas sufiĉe multe pli malgrandaj ol li(x^1/2)/2, ĉefe ĉar la unua kompleksa nulo de la zeta funkcio havas sufiĉe grandan imaginaran parton, tiel granda kvanto de ili (kelkaj centoj) devas havi la saman signon de reela parto por ke superiri la dominan termon. La ŝanco ke N hazardaj kompleksaj nombroj havas la saman signon de reela parto estas proksimume 1 el 2^N. Ĉi tio eksplikas kial π(x) estas iam pli granda ol li(x), kaj ankaŭ kial ĉi tio estas malofta okazo. Ĝi ankaŭ montras kial trovado de lokoj kie ĉi tio okazas bezonas grandkvantajn kalkulojn de nuloj de la rimana ζ funkcio.

La rezonado pli supre ne estas pruvo, ĉar ĝi alprenas ke la nuloj de la rimana ζ funkcio estas hazardaj, kio ne estas vera. La pruvo de Littlewood konsistas el montrado ke iusence la nuloj estas sufiĉe hazardaj por ke ĉi tiu rezonado laboru.

En la (malverŝajna) okazo ke la rimana hipotezo estas malvera, la rezonado estas multe pli simpla, ĉar tiam inter nuloj atencantaj la rimanan hipotezon estas tiuj kun reela parto pli granda ol 1/2, kaj do la termoj li(x^ρ) por ili kreskas asimptote pli rapide ol li(x^1/2), kaj ekde iu valoro de x ili dominas.

La kaŭzo por ekzisto de la termo li(x^1/2)/2 estas ke, proksimume, li(x) kalkulas ne primojn, sed primajn potencojn pⁿ kun pezoj 1/n, kaj li(x^1/2)/2 estas la korektada termo por subtrahi kvanton de kvadratoj de primoj.

Vidu ankaŭ

• Primo-kalkulanta funkcio
• Rimana ζ funkcio
• Rimana hipotezo
• Integrala logaritma funkcio
• Nombro de Graham

Eksteraj ligiloj

• Patrick Demichel, La primo-kalkulanta funkcio kaj rilatantaj subjektoj, enhavas multajn grafikaĵojn
• Bays kaj Hudson, Nova baro por la plej malgranda x kun π(x) > li(x), Matematiko de kalkulado, volumo 69, 2000, eldono 231, paĝoj 1285-1296 MathSciNet1752093
• Kuok Fai Chao kaj Roger Plymen, Nova baro por la plej malgranda x kun π(x) > li(x)
• R. Sherman Lehman, Pri la diferenco π(x) - li(x), Acta Arith., volumo 11, 1966, paĝoj 397-410 MathSciNet34:2546
• Stanley Skewes, Pri la diferenco π(x) - Li(x), Paperoj de la londona matematika socio, volumo 5, 1955, paĝoj 48-70 MathSciNet0067145
• H. J. J. te Riele, Pri la signo de la diferenco π(x) - Li(x), Matematiko de kalkulado, volumo 48, 1987, paĝoj 323-328 MathSciNet0866118
• Michael Rubinstein kaj Peter Sarnak, [Deklivo de Ĉebiŝev http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870], Experiment. Math., volumo 3, 1994, eldono 3, paĝoj 173-197 MathSciNet1329368
• Aurel Wintner, Pri la distribua funkcio de la resta termo de la prima teoremo, Amer. J. Math., volumo 63, 1941, paĝoj 233-248