Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues) :
aŭ en publika formo:
Ekvacio de Legendre
La ekvacio de Legendre estas la sekvanta:
Polinomo de Legendre de grado n estas
(pri ĉiu entjera nombro n), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :
Oni povas konsideri
, kiam
indikas polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.
La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio
, kiam oni serĉas ties solvoj kaj kiam ĝi estas skribita en sferaj koordinatoj;
ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.
Genera funkcio
Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio
,
do estas formulo:
Atributoj de polinomoj
- rikura formulo:
![{\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbd4589821437bf742da951c75d7e4cb4cb09bb)
- orteco en intervalo [-1,1]:
![{\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\qquad \mathrm {pour} \qquad m\neq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4d35d3a353c67817f4206195d64a23e44fae3f)
Ekzemploj de polinomoj
n |
![{\displaystyle P_{n}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced0c8017e2e633e34a03700e554bff311d9a6a0) |
0 |
![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1 |
![{\displaystyle x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398) |
2 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}\end{matrix}(3x^{2}-1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d8bbfaa2ff4a46a6adf746942cb830ab03cc2e) |
3 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}\end{matrix}(5x^{3}-3x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38629e4e47ba916095663e616bf4d6d11b240643) |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
Skemoj
Vidu ankaŭ
- Akompanaj funkcioj de Legendre