Función zeta de Dedekind

En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ donde ${\displaystyle s}$ es una variable compleja. Está definida para números complejos s con parte real Re(s) > 1 por medio de la serie de Dirichlet

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}_{K}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}$

realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros ${\displaystyle {\mathcal {O}_{K}$ de K, con ${\displaystyle I\neq \{0\}$. Donde ${\displaystyle N_{K/\mathbf {Q} }(I)}$ es la norma de I (al cuerpo racional Q): es igual a la cardinalidad de O_K/I, en otras palabras, el número de clases de residuos módulo ${\displaystyle I}$. En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.

Propiedades

Las propiedades de ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene una representación en forma de producto de Euler

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{P\subseteq {\mathcal {O}_{K}{\frac {1}{1-(N_{K/\mathbf {Q} }(P))^{-s},{\text{ para Re}(s)>1.}$

cuyo producto es sobre todos los ideales primos P de O_K. Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales ${\displaystyle I}$.

Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.

Relación con otras funciones L

Para el caso en que K es una extensión abeliana de Q, su función zeta de Dedekind puede ser escrita como un producto de funciones L de Dirichlet. Por ejemplo, cuando K es un cuerpo cuadrático esto muestra que la relación

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}$

es una función L, L(s,χ); donde ${\displaystyle \chi }$ es un símbolo de Jacobi como carácter de Dirichlet. Que la función zeta de un cuerpo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática.

En general si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G, su función zeta de Dedekind tiene una factorización comparable en términos de funciones L de Artin. Estas están asociadas a representaciones lineales de G.

Véase también

• Función L
• Hipótesis extendida de Riemann

Enlaces externos

• Dedekind zeta function en PlanetMath.
• Factorization of the Dedekind zeta function of an abelian number field en PlanetMath.