Signumfunktsioon

See artikkel räägib matemaatika mõistest; semiootika mõiste kohta vaata artiklit Märgifunktsioon (matemaatika); pildituvastuse mõiste kohta vaata artiklit Märgifunktsioon (pildituvastus)

Signumfunktsioon ehk märgifunktsioon (ladina keelest signum 'märk'), mida sageli tähistatakse kui ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$, on matemaatiline funktsioon, mis eraldab reaalarvu märgi. Funktsioon tagastab positiivsete arvude korral +1, negatiivsete arvude korral -1 ja nullväärtuse korral 0.^[1] Seda kasutatakse laialdaselt matemaatikas, arvuti- ja inseneriteaduses, näiteks algoritmide analüüsimisel, juhtimissüsteemides ja signaalitöötluses.

Signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt^[1]:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{\begin{matrix}1,&{\text{kui}&x>0\\0,&{\text{kui}&x=0\\-1,&{\text{kui}&x<0\end{matrix}\right.}$

Funktsioon võtab sisendiks reaalarvu ${\displaystyle x}$ ja tagastab vastavalt sellele, kas ${\displaystyle x}$ on positiivne, negatiivne või null, vastava arvu ${\displaystyle +1}$, ${\displaystyle -1}$ või ${\displaystyle 0}$.

Signumfunktsiooni saab matemaatiliselt väljendada järgmiselt^[1]:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}$, kui ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$

Kompleksarvude puhul saab laiendada signumfunktsiooni nii reaal- kui ka imaginaarkomponendi märgi määramiseks. Kompleksarvu ${\displaystyle z=a+bi}$, kus ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ on reaalarvud, signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt^[2]:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\frac {z}{|z|}$, kui ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$

Signumfunktsioon on paaritu funktsioon, mis tähendab, et ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)}$ mis tahes reaalarvu ${\displaystyle x}$ korral.^[3]

Reaalarvu ${\displaystyle x}$ absoluutväärtust saab arvutada signumfunktsiooni abil järgmiselt: ${\displaystyle |x|=x*\operatorname {sgn}(x)}$.

Signumfunktsioon on mitte-pidev kohal ${\displaystyle x=0}$, sest vasak ja parem piirväärtus ei lange kokku. Mujal on aga pidev.

${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn}(x)=-1\neq \operatorname {sgn}(0)}$

${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)}$

Kompleksarvu signumfunktsioon skaleerib arvu säilitades faasi. Teisisõnu, see seab vastavusse kompleksarvu ${\displaystyle z}$, ühikringi punktiga komplekstasandil, säilitades algse kompleksarvu nurga.^[2]

Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse signumfunktsiooni signaali polaarsuse tuvastamiseks ja erinevate algoritmide rakendamiseks (kvantimine ja adaptiivfilter).^[4][5]

Kastsignaali saab tekitada järgneva valemiga:

${\displaystyle s(t)=A\cdot {\text{sgn}(\sin(2\pi ft+\phi ))}$

kus ${\displaystyle A}$ on kastsignaali amplituud, ${\displaystyle f}$ on kastsignaali sagedus, ${\displaystyle t}$ on aeg ja ${\displaystyle \phi }$ on kastsignaali faas.

Signumfunktsiooni kasutatakse juhtimissüsteemides mittelineaarsete süsteemide käitumise modelleerimiseks (hüsterees, küllastus ja surnud tsoon).^[6]

Arvutiteaduses kasutatakse signumfunktsiooni erinevates rakendustes näiteks veaparanduskoodis, krüptograafias ja andmete pakkimise algoritmides.^[7][8]