Función signo

En matemáticas, a función signo é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$. ^[1]

A función signo dun número real ${\displaystyle x}$ é unha función por intervalos que se define como segue: ^[2]$${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }x<0,\\0&{\text{if }x=0,\\1&{\text{if }x>0.\end{cases}$$

Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

A función signo é discontínua en x = 0.

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}$

Daquela, cando ${\displaystyle x}$ non é igual a 0 temos ${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}={\frac {|x|}{x}$.

Tamén temos:${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}$.

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.${\displaystyle {\frac {\text{d}|x|}{\text{d}x}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }x\neq 0.}$

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en x = 0.

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1}$.

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:$${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}$$para calquera número complexo ${\displaystyle z}$ agás ${\displaystyle z=0}$. O signo dun número complexo dado ${\displaystyle z}$ é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a ${\displaystyle z}$. Entón, para ${\displaystyle z\neq 0}$,${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},}$ onde ${\displaystyle \arg }$ é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para ${\displaystyle z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0}$.

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é ${\displaystyle {\text{csgn}$, ^[3] que se define en función do signo das partes real ${\displaystyle {\text{Re}(z)}$ e imaxinaria ${\displaystyle {\text{Im}(z)}$: $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}$$Logo temos (para ${\displaystyle z\neq 0}$ ):$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}={\frac {\sqrt {z^{2}{z}.}$$

• Valor absoluto