فرمول اویلر
فرمول اویلر (به انگلیسی: Euler's formula)، منتسب به لئونارد اویلر، اتحادی است در آنالیز مختلط که رابطهٔ بین تابع نمایی مختلط و توابع مثلثاتی را به صورت زیر بیان میدارد:
که در اینجا
پایه لگاریتم طبیعی،
واحد موهومی و متغیر
عددی دلخواه و حقیقی بر حسب واحد رادیان است.
با قراردادن
به جای متغیر شکل خاصی از رابطهٔ بالا بدست میآید.
![{\displaystyle e^{i\pi }=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ba628c5431f37a0be483c26111b1078c036f6b)
اثبات
پرتره لئونارد اویلر در سال ۱۷۵۳پدیدآورنده: یعقوب امانوئل هندمن
میدانیم:
![{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a447c7186119b2bbe10eb3cfdf5963695b0f40)
و الی آخر. با استفاده از بسط تیلور
برای هر
حقیقی داریم:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}{2!}+{\frac {(ix)^{3}{3!}+{\frac {(ix)^{4}{4!}+{\frac {(ix)^{5}{5!}+{\frac {(ix)^{6}{6!}+{\frac {(ix)^{7}{7!}+{\frac {(ix)^{8}{8!}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}{2!}-{\frac {ix^{3}{3!}+{\frac {x^{4}{4!}+{\frac {ix^{5}{5!}-{\frac {x^{6}{6!}-{\frac {ix^{7}{7!}+{\frac {x^{8}{8!}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}-{\frac {x^{6}{6!}+{\frac {x^{8}{8!}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}-{\frac {x^{7}{7!}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d453ec298973d3dc0c734240525d1d3a0bbb58)
جستارهای وابسته
منابع
- Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed.، Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
- Henry J. Ricardo (2009). "A Modern Introduction to Differential Equations", 2nd ed.، Academic Press. ISBN 978-0-12-374746-4.