Suppeneva sarja

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.

Määritelmä

Sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...}$ suppenee, jos sen osasummien jono ${\displaystyle \left(S_{n}\right)=\left(S_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ suppenee, ts. jos ${\displaystyle \exists S\in \mathbb {R} }$ s.e. ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}=S}$. Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=x_{1}+x_{2}+...=S}$

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

Lause 1.

Jos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee, niin ${\displaystyle \lim \limits _{k\to \infty }x_{k}=0}$

Lause 2.

Suppenevalle sarjalle erotusta

${\displaystyle R_{n}=S-S_{n}$

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

Suppenevalle sarjalle ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }R_{n}=0}$

Lause 4.

Jos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}=X}$ ja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}=Y}$, sekä ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, niin

${\displaystyle a)\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})=X+Y}$

${\displaystyle b)\sum _{k=1}^{\infty }ax_{k}=aX}$

Lause 5.

Jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee ja sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuu, niin summasarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})}$ hajaantuu. Jos molemmat sarjat ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ ja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}$ hajaantuvat, niin niiden summasarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}+y_{k})}$ voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

Sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee ${\displaystyle \Longleftrightarrow \varepsilon >0}$ kohti ${\displaystyle \exists n_{\varepsilon >0}\in \mathbb {N} }$ s.e.

${\displaystyle \vert x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+...+x_{n+p}\vert <\varepsilon }$

kaikilla ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ aina kun ${\displaystyle n>n_{\varepsilon }$

Itseisesti suppeneva sarja

Määritelmä

sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee itseisesti, jos sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert }$ suppenee.

Lause 7.

Jos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\vert x_{k}\vert }$ suppenee, niin ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ suppenee. Tällöin sarjoille pätee

${\displaystyle \vert \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\vert \leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|}$

Lähteet

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2