Conxunto conexo

Un conxunto conexo é un subconxunto ${\displaystyle C\subseteq X}$ dun espazo topolóxico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})\,}$ é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.

Formalmente, ${\displaystyle C\subseteq X}$ é un conxunto conexo se e só se: ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {T},A\cap B\cap C=\emptyset ,C\subseteq A\cup B}$ implica ${\displaystyle C\subseteq A\vee C\subseteq B}$

Cómpre notar que se ${\displaystyle C=X}$, entón terase que ${\displaystyle X}$ é conexo se e só se ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {T},A\cap B=\emptyset ,A\cup B=X}$ implica ${\displaystyle A=X\vee B=X}$. Neste caso, ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})\,}$ chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que ${\displaystyle C\subseteq X}$ é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

Exemplos

Conxuntos conexos

• As esferas ${\displaystyle S^{n},n\geq 1,}$ son conexas.
• Un punto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ é conexo.
• Un nó é un conxunto conexo en ${\displaystyle S^{3}\,}$
• Un toro é un conxunto conexo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$
• En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
• O complementario dun punto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2,}$ é conexo.

Subconxunto conexo na recta

Sexa ${\displaystyle \mathbb {R} }$ provisto da topoloxía usual ${\displaystyle T_{u}$, ademais ${\displaystyle J}$ un intervalo de ${\displaystyle \mathbb {R} ,M}$ e ${\displaystyle N}$ subconxuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tales que ${\displaystyle J}$ é parte da unión de ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset }$. Entón ${\displaystyle J\cap M=\emptyset \,\,\vee J\cap N=\emptyset }$. Neste caso ${\displaystyle J}$ é un subconxunto conexo da recta real.

• Un subconxunto ${\displaystyle H}$ da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto ${\displaystyle K=\{\frac {1}{n},{\textbf {para}\,n\,{\textbf {entero}\,{\textbf {positivo}\}$^[1]

Conxuntos non conexos

• O complementario dun punto en ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$
• Un enlace de ${\displaystyle n\,}$ compoñentes (nós), ${\displaystyle n\geq 2}$

Propiedades dos conxuntos conexos

Cúmprese que se ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})\,}$ é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: ${\displaystyle C\subseteq X}$ é un conxunto conexo se e só se para toda función ${\displaystyle f\colon C\to \{0,1\}\ }$ continua se cumpre que ${\displaystyle f}$ é unha función constante, onde se dota a ${\displaystyle \{0,1\}$ da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se ${\displaystyle ({X_{i},{\mathcal {T}_{i})_{i\in I}$ é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con ${\displaystyle I}$ un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón ${\displaystyle (\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T})}$ tamén é conexo, onde ${\displaystyle {\mathcal {T}$ é a topoloxía produto.

Por último, se ${\displaystyle X}$ non é conexo, é dicir, se existen abertos ${\displaystyle U,V}$, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é ${\displaystyle X}$, é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, ${\displaystyle X}$ será conexo se e só se os únicos clopen son ${\displaystyle X}$ e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen).

Conexidade por camiños

Dise que un conxunto ${\displaystyle X}$ é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ existe un camiño continuo ${\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X}$ tal que ${\displaystyle \alpha (0)=x_{1}$ e ${\displaystyle \alpha (1)=x_{2}$.

A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, ${\displaystyle X=A\cup B}$, onde ${\displaystyle A=\{(0,1)\}$ e ${\displaystyle B=((0,1]\times \{0\})\cup \left(\left\{\frac {1}{n}:n\in \mathbb {N} \right\}\times [0,1]\right)}$. ${\displaystyle X}$ é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

Compoñentes conexas

Dado un espazo topolóxico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T})\,}$ chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto ${\displaystyle Y\subset X\,}$ é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:

1. ${\displaystyle Y\subset X\,}$ é conexo.
2. Calquera conxunto ${\displaystyle Z\,}$ que contén propiamente ${\displaystyle Y\,}$ non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de ${\displaystyle X}$ forman unha partición de ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle X}$ é conexo, tense que ${\displaystyle X}$ é a súa única compoñente conexa.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

• Munkres, James R. (2000). Topology, Second Edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 39: 1–13. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 04 de marzo de 2016. Consultado o 31 de maio de 2017. .