Espazo topolóxico

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

Definición

Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e E están en T.

${\displaystyle \quad \varnothing \in T,E\in T}$

2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.

${\displaystyle \quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)}$

3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.

${\displaystyle \quad (\forall i\in I,O_{i}\in T)\Rightarrow (\cup _{i\in I}O_{i}\in T)}$

Esta condición tamén pode escribir:

${\displaystyle \quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T}$

Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un espazo topolóxico é un par ${\displaystyle (E,\tau )\,\!}$ onde ${\displaystyle E\,\!}$ é un conxunto e ${\displaystyle \tau \,\!}$ é unha topoloxía en ${\displaystyle E\,\!}$.

Exemplos

• Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por ${\displaystyle \varnothing }$ e ${\displaystyle \quad E}$.
• Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de ${\displaystyle \quad E}$.
• Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por ${\displaystyle \varnothing }$ e os conxuntos de ${\displaystyle \quad E}$, cuxos complementarios son finitos.
• Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por ${\displaystyle \varnothing }$ e os conxuntos de ${\displaystyle \quad E}$, cuxos complementarios son numerables.
• R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
• Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.

Topoloxía usual

Dise que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$está dotado coa topoloxía usual ${\displaystyle \tau _{u}$ se ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau _{u})}$ é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau )}$, é dicir, pola unión de subconxuntos da forma ${\displaystyle B(c,r)=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-c_{i})^{2}<r^{2}\}$, onde ${\displaystyle c=(c_{1},\dots ,c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ e ${\displaystyle r}$ é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ pola distancia usual ${\displaystyle d}$ dada por ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}$, sendo ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ e ${\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{n})}$ elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$.