Ideal principal

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal ${\displaystyle I}$ nun anel ${\displaystyle R}$ que é xerado por un só elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle R}$ mediante a multiplicación por cada elemento de ${\displaystyle R.}$ O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset ${\displaystyle P}$ xerado por un único elemento ${\displaystyle x\in P,}$ é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle P.}$

O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.

• un ideal principal pola esquerda ${\displaystyle R}$ é un subconxunto de ${\displaystyle R}$ dado por ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}$ para algún elemento ${\displaystyle a,}$
• un ideal principal pola dereita de ${\displaystyle R}$ é un subconxunto de ${\displaystyle R}$ dado por ${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}$ para algún elemento ${\displaystyle a,}$
• un ideal principal bilateral ${\displaystyle R}$ é un subconxunto de ${\displaystyle R}$ dado por ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}$ para algún elemento ${\displaystyle a,}$ é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma ${\displaystyle ras.}$

Se ${\displaystyle R}$ é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por ${\displaystyle a}$ como ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ou ${\displaystyle (a).}$

Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ de todos os polinomios en dúas variabeis ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ con coeficientes complexos. O ideal ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ xerado por ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ que consta de todos os polinomios en ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que ${\displaystyle p}$ foron un xerador de ${\displaystyle \langle x,y\rangle .}$ Entón ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ ambos os dous serían divisíbeis por ${\displaystyle p,}$ que é imposíbel a non ser que ${\displaystyle p}$ sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$ así que temos unha contradición.

No anel ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}]=\{a+b{\sqrt {-3}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ os números onde ${\displaystyle a+b}$ son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ e ${\displaystyle (1,1).}$ Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle -1}$ as únicas unidades do anel, non son asociados.

Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización único; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.

Os ideais principais en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ son da forma ${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} .}$ De feito, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ onde ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ e considere os homomorfismos sobrexectivos ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ Posto que${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ é finito, para ${\displaystyle k}$ suficientemente grande temos ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ Así ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ o que implica que ${\displaystyle I}$ sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ xerado por calquera número enteiro ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ é exactamente ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ por indución sobre o número de xeradores dedúcese que ${\displaystyle I}$ é principal.

No entanto, todos os aneis teñen ideais principais, calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal ${\displaystyle \langle x\rangle }$ é un ideal principal de ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ e ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}\rangle }$ é un ideal principal de ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}].}$ De feito, ${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$ e ${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$ son os ideais principais de calquera anel ${\displaystyle R.}$

• Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary Abstract Algebra (9th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0. 

• Dominio de ideais principais.
• Ideal (teoría dos aneis)

• Principal Ideals and Euclidean Domains (LibreTexts).