Serie (matemáticas)

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos ${\displaystyle a_{n}$ como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{n}$

onde N é o índice final da serie. As series infinitas van desde 1 ata ${\displaystyle \infty }$.

As series poden converxer ou diverxer. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.

Algúns tipos de series

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo termo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}.}$

En xeral, as series xeométricas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

• Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplo:

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe (${\displaystyle \pm \infty }$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ é converxente, entón ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0}$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}\neq 0}$ entón ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ é diverxente

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos).

Se existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}{a_{k}=l}$

con ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}=l}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de ${\displaystyle a_{k}$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de ${\displaystyle a_{k}$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a_{k+1}{a_{k}\right)}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,(-\infty ,+\infty )}$

Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie ${\displaystyle a_{n}$ converxe absolutamente se

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\|{a_{n}\right\|}$

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.