Jednadžba difuzije

Jednadžba difuzije ili difuzijska jednadžba je parabolična parcijalna diferencijalna jednadžba drugoga reda. U matematici se koristi u područjima vezanim za Markovljev lanac, dok je iznimnu važnost ima u statističkoj fizici prilikom svakoga procesa koji je rezultat nasumičnog kretanja čestica. Zbog svoje općenitosti, koristi se i u raznim drugim područjima, kao informatici, biološkim znanostima, društvenim znanostima, ekonomiji, itd.

Jednadžba

Difuzijska jednadžba je definirana kao

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}$

gdje je ϕ(r, t) koncentracija ili gustoća promatranoga sustava u točki r i u vremenu t, a D(ϕ, r) je difuzijski koeficijent za koncentraciju ϕ i točku r. Operator ∇ vektorski diferencijalni operator nablu.

Ako koeficijent difuzije ovisi o koncentraciji (ili gustoći), tada je jednadžba nelinearna. U suprotnom je linearna.

Ako je koeficijent difuzije simetrična, pozitivno definirana, matrica, tada jednadžba predstavlja anizotropnu difuziju, i ima oblik:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}\right]}$

Ako je D konstanta, tada se jednadžba reducira na linearni diferencijalnu jednadžbu:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t).}$

Rješenje za takav slučaj za jednu dimenziju se nalazi u obliku Gaussijana:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/hr.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \phi(\mathbf{r},t | x_{0}, r_{0}) = \frac{1 }{ \sqrt{4 \pi D (t - t_{0})} } e^{- { \frac{(x - x_{0})^2 }{ 4 D (t - t_{0})^2} } }

Gdje su ${\displaystyle x_{0}$ i ${\displaystyle t_{0}$ početne vrijednosti pozicije i vremena.^[1]

Izvod

Difuzijska jednadžba se trivijalno može izvesti kombinacijom jednadžbe kontinuiteta

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$

S Fickovim prvim zakonom

${\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}$

koji kaže da je tok materijala koji vrši difuziju proporcionalan lokalnom gradijentu koncentracije.

Izvori

Vidi još

• Difuzija
• Statistička mehanika
• Markovljev lanac