Diffúziós egyenlet

A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában^[1] – is használható.

Képlet

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}$

ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}\right]}$

Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: ${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}$ melyet hőegyenletnek is hívnak.

Történet

A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben.^[2]

Diszkretizálás

A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkretizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkretizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkretizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkretizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkretizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.

Források

Irodalom

• Crank, J: The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1956.  
• Thambynayagam, R. K. M: The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. (hely nélkül): McGraw-Hill. 2011.  

További információk

[1]

Kapcsolódó szócikkek

• Hőegyenlet
• Differenciálegyenlet
• Adolf Fick
• Fick-törvény
• Populációgenetika