Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta
Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je površini paralelograma kojeg razapinju
Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak ) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru . Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
i
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
, njihov vektorski produkt
a
→
×
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}
je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke . U slučaju da vektori
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
i
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.
Formalna definicija
Vektorski produkt se definira kao operacija
×
:
(
E
3
,
E
3
)
→
E
3
{\displaystyle \times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}
za koju vrijedi
a
→
×
b
→
=
(
|
a
→
|
×
|
b
→
|
sin
θ
)
n
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}=(|{\overrightarrow {a}|\times |{\overrightarrow {b}|\sin \theta ){\overrightarrow {n}
gdje su
a
→
,
b
→
∈
E
3
,
{\displaystyle {\overrightarrow {a},{\overrightarrow {b}\in E^{3},}
θ
{\displaystyle \theta }
kut između dvaju vektora, a
n
→
{\displaystyle {\overrightarrow {n}
vektor okomit na vektore
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
i
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
.
Definira se i pomoću determinante :
a
→
×
b
→
=
|
i
→
j
→
k
→
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}&{\overrightarrow {j}&{\overrightarrow {k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}=}
=
i
→
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
−
j
→
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
+
k
→
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
=
{\displaystyle ={\overrightarrow {i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=}
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
a
3
b
1
−
a
1
b
3
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}
gdje su
i
→
=
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\overrightarrow {i}=(1,0,0)}
,
j
→
=
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle {\overrightarrow {j}=(0,1,0)}
i :
k
→
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\overrightarrow {k}=(0,0,1)}
vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora , E3 .
Svojstva
Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima
|
a
→
×
b
→
|
=
|
a
→
|
|
b
→
|
|
sin
θ
|
{\displaystyle |{\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}|=|{\overrightarrow {a}||{\overrightarrow {b}||\sin \theta |}
Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.
a
→
×
a
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {a}={\overrightarrow {0}
a
→
×
b
→
=
−
(
b
→
×
a
→
)
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}=-({\overrightarrow {b}\times {\overrightarrow {a})}
Distributivan je prema zbrajanju
a
→
×
(
b
→
+
c
→
)
=
(
a
→
×
b
→
)
+
(
a
→
×
c
→
)
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times ({\overrightarrow {b}+{\overrightarrow {c})=({\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b})+({\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {c})}
(
α
⋅
a
→
)
×
b
→
=
a
→
×
(
α
⋅
b
→
)
=
α
⋅
(
a
→
×
b
→
)
{\displaystyle (\alpha \cdot {\overrightarrow {a})\times {\overrightarrow {b}={\overrightarrow {a}\times (\alpha \cdot {\overrightarrow {b})=\alpha \cdot ({\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b})}
Nije asocijativan
Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi
a
→
×
b
→
=
a
→
×
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {b}={\overrightarrow {a}\times {\overrightarrow {c}
i
a
→
≠
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\neq {\overrightarrow {0}
, ne slijedi
b
→
=
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}={\overrightarrow {c}
, nego samo
a
→
×
(
b
→
−
c
→
)
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}\times ({\overrightarrow {b}-{\overrightarrow {c})={\overrightarrow {0}
kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}
i
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {c}
jednaki, ali i ako su
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}
i
b
→
−
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {b}-{\overrightarrow {c}
paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.
Također pogledati