Vektoriālais reizinājums

Matemātikā vektoriālais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem trīsdimensiju Eiklīda telpā esošiem vektoriem piekārto vektoru, kas perpendikulārs dotajiem vektoriem un kura garums vienāds ar sākotnējo vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Vektoriālo reizinājumu no diviem vektoriem ir iespējams definēt tikai trīs un septiņās dimensijās.^[1]

Definīcija

Par trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\displaystyle {\vec {a}$ un ${\displaystyle {\vec {b}$ vektoriālo reizinājumu sauc tādu vektoru ${\displaystyle {\vec {c}$, ka

• ${\displaystyle {\vec {a}\perp {\vec {c}$ un ${\displaystyle {\vec {b}\perp {\vec {c}$,
• ${\displaystyle |\,{\vec {c}\,|=|\,{\vec {a}\,|\,|\,{\vec {b}\,|\sin \theta }$, kur θ ir leņķis starp vektoriem ${\displaystyle {\vec {a}$ un ${\displaystyle {\vec {b}$,
• vektors ${\displaystyle {\vec {c}$ ir orientēts tā, ka trijnieks ${\displaystyle ({\vec {a},{\vec {b},{\vec {c})}$ veido labēju bāzi.

Vektoriālā reizinājuma darbību apzīmē ar "×", piemēram, ${\displaystyle {\vec {c}={\vec {a}\times {\vec {b}$.

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ja ${\displaystyle {\vec {a}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ un ${\displaystyle {\vec {b}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$, tad

${\displaystyle {\vec {a}\times {\vec {b}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).}$

Ar determinanta palīdzību

Vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar formāla determinanta palīdzību:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}\times {\vec {b}={\begin{vmatrix}{\vec {e}_{1}&{\vec {e}_{2}&{\vec {e}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}&={\vec {e}_{1}\;{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}-{\vec {e}_{2}\;{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}+{\vec {e}_{3}\;{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}\\&={\vec {e}_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+{\vec {e}_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+{\vec {e}_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}),\end{aligned}$

kur ${\displaystyle {\vec {e}_{1},{\vec {e}_{2},{\vec {e}_{3}$ ir vienības vektori, kas vērsti koordinātu asu virzienos.
Determinanta aprēķināšanu 3×3 matricai atvieglo Sarrusa metode.

Ar matricu palīdzību

Ja ${\displaystyle {\vec {c}={\vec {a}\times {\vec {b}$, tad

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}.}$

Ar summas palīdzību

Vektoriālā reizinājuma i-to komponenti var aprēķināt šādi:

${\displaystyle ({\vec {a}\times {\vec {b})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

kur ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}$ ir Levi-Čivita simbols. Ja katru no komponentēm sareizina ar attiecīgo bāzes vektoru un saskaita kopā, tad iegūst

${\displaystyle {\vec {a}\times {\vec {b}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}_{i}a_{j}b_{k}.}$

Sakarības

Vektoriālais reizinājums ir antikomutatīvs:

${\displaystyle {\vec {a}\times {\vec {b}=-{\vec {b}\times {\vec {a}.}$

No tā izriet, ka

${\displaystyle {\vec {a}\times {\vec {a}={\vec {0}.}$

Divkāršā vektoriālā reizinājuma formula (viegli atcerēties kā "BAC mīnus CAB"):

${\displaystyle ({\vec {a}\times {\vec {b})\times {\vec {c}={\vec {b}\,({\vec {a}\cdot {\vec {c})-{\vec {c}\,({\vec {a}\cdot {\vec {b}).}$

Vektoriālais reizinājums nav asociatīvs, taču tas apmierina Jakobi sakarību

${\displaystyle {\vec {a}\times ({\vec {b}\times {\vec {c})+{\vec {b}\times ({\vec {c}\times {\vec {a})+{\vec {c}\times ({\vec {a}\times {\vec {b})=0.}$

Skatīt arī

• Skalārais reizinājums
• Jauktais reizinājums
• Pseidoskalārais reizinājums

Atsauces

s d l Lineārā algebra Pamata koncepti Skalārs lielums Vektors Vektoru telpa Skalāra reizināšana Vektora projekcija Lineārais sprīdis Lineārais plāns Lineārā projekcija Lineārā neatkarība Lineārā kombinācija Bāze Bāzes maiņa Rindu un kolonnu vektori Rindu un kolonnu lauki Kodols Īpašvērtības un īpašvektori Transponēšana Lineārie vienādojumi Matricas Bloks Sadalīšana Apgrieztā Minors Reizināšana Ranks Transformācija Krāmera formulas (likums) Gausa izslēgšanas metode Bilinearitāte Ortogonalitāte Skalārais reizinājums Iekšējā reizinājuma telpa Vektoriāls reizinājums Grama–Šmita process Multilineārā algebra Determinants Vektoriālais reizinājums Jauktais reizinājums Septiņu-dimensiju vektoriālais reizinājums Ģeometriskā algebra Ārējā algebra Bivektors Multivektors Tenzors Outermorfisms Vektoru lauka konstrukcijas Duāla Tiešā summa Funkcijas telpa Koeficients Apakšlauks Tenzorreizinājums kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā Peldošo punktu Skaitliskā stabilitāte Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Retināta matrica Lineārās algebras programmatūras bibliotēkas Kategorija Wikibook (En) Wikiversity (En)