Tangenstétel
Háromszög esetén, α , β és γ jelöli az a , b és c oldalakkal szemközti szögeket
A tangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő szögekre igaz a következő összefüggés:
a
+
b
a
−
b
=
t
g
α
+
β
2
t
g
α
−
β
2
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}\ =\ {\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}.}
Bizonyítás
A szinusztétel értelmében:
a
sin
α
=
b
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }={\frac {b}{\sin \beta }.}
Legyen
d
=
a
sin
α
=
b
sin
β
,
{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }={\frac {b}{\sin \beta },}
így
a
=
d
sin
α
és
b
=
d
sin
β
,
{\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ és }b=d\sin \beta ,}
amiből
a
+
b
a
−
b
=
d
sin
α
+
d
sin
β
d
sin
α
−
d
sin
β
=
sin
α
+
sin
β
sin
α
−
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}={\frac {d\sin \alpha +d\sin \beta }{d\sin \alpha -d\sin \beta }={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }.}
A két szinusz összegére vonatkozó képlet
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
(
α
±
β
2
)
cos
(
α
∓
β
2
)
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}\right)\;}
használatával a következő alakot kapjuk:
a
+
b
a
−
b
=
2
sin
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
2
sin
α
−
β
2
cos
α
+
β
2
=
t
g
α
+
β
2
t
g
α
−
β
2
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}={\frac {2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}{2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}=\ {\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}.}
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
Kapcsolódó szócikkek
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd