Теорема тангенсів

Теорема тангенсів — тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині.

Теорема тангенсів, хоча й не настільки широко відома як теорема синусів або теорема косинусів, достатньо корисна, і може бути використана в тих випадках, коли відомі дві сторони і один кут, або, навпаки, два кути й одна сторона.

Формулювання

Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що

Доведення

Почнемо із (a + b)/(a — b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):

(Дивись: Тригонометричні функції)

Доведення з використанням формул Мольвейде

Формули Мольвейде мають такий вигляд:

де  — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і  — довжини сторін відповідно між вершинами і , і , і .

Поділивши порізно праві і ліві частини двох останніх рівностей і прирівнявши два отриманих результати, маємо

З урахуванням того, що , остаточно маємо:

що й потрібно було довести.

Історія

Теорему тангенсів для сферичних кутів описав у XIII столітті перським математиком Насир ад-Дін ат-Тусі (1201—1274), який у своїй п'ятитомній роботі Трактат про повний чотирикутник також навів теорему синусів для плоских трикутників[1][2].

Теорему також називають формулою Реґіомонтана за ім'ям німецького астронома й математика Йоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), який отримав цю формулу. Й. Мюллера називали «Кенігсбержцем»: німецькою König [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — король, Berg [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — гора, а латинською «король» і «гора» в родовому відмінку — regis і montis [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.]. Звідси «Реґіомонтан» — латинізоване прізвисько Й. Мюллера.[3]

Див. також

Примітки

  1. Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometry // [1] / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — С. 182. — ISBN 0415124115. Архівовано з джерела 30 грудня 2021
  2. Q. Mushtaq, J. L. Berggren. Trigonometry // [2] / Bosworth C. E., Asimov M. S. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — С. 190. — ISBN 8120815963. Архівовано з джерела 30 грудня 2021
  3. О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов