Polinomial monik

Dalam aljabar, polinomial monik adalah polinomial variabel tunggal (yaitu, polinomial univariat) di mana koefisien utama (koefisien bukan nol derajat tertinggi ) adalah sama 1. Oleh karena itu, polinomial monik memiliki bentuk

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

Polinomial univariat

Jika sebuah polinomial hanya memiliki satu tak tentu (polinomial univariat), maka istilah tersebut biasanya ditulis dari tingkat tertinggi ke derajat terendah ("kekuatan menurun") atau dari derajat terendah ke derajat tertinggi ("pangkat naik"). Polinomial univariat dalam x derajat n kemudian mengambil bentuk umum yang ditampilkan di atas, di mana

c_n ≠ 0, c_n−1, ..., c₂, c₁ dan c₀

adalah konstanta, koefisien dari polinomial.

Di sini istilahnya c_nxⁿ is called the istilah utama , dan koefisiennya c_n yang koefisien utama ; jika koefisien awal adalah 1, polinomial univariat disebut 'monic' .

Polinomial multivariat

Biasanya, istilah monic tidak digunakan untuk polinomial beberapa variabel. Namun, polinomial dalam beberapa variabel dapat dianggap sebagai polinomial hanya dalam variabel "terakhir", tetapi dengan koefisien menjadi polinomial pada variabel lain. Ini dapat dilakukan dengan beberapa cara, bergantung pada salah satu variabel yang dipilih sebagai "yang terakhir". Misalnya, polinomial yang sebenarnya

${\displaystyle \ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$

adalah monik, dianggap sebagai elemen dalam R[y][x], yaitu, sebagai polinomial univariat dalam variabel x , dengan koefisien yang merupakan polinomial univariat di y:

${\displaystyle p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)}$;

tapi p(x,y) tidak monik sebagai elemen dalam R[x][y], sejak itu koefisien derajat tertinggi (yaitu, y² koefisien) adalah  2x − 1.

Ada konvensi alternatif, yang mungkin berguna mis. dalam konteks basis Gröbner: polinomial disebut monik, jika koefisien utamanya (sebagai polinomial multivariat) adalah 1. Dengan kata lain, asumsikan itu p = p(x₁,...,x_n) adalah polinomial bukan nol dalam variabel n , dan terdapat urutan monomial pada himpunan semua monomial ("monik") dalam variabel ini, yaitu, urutan total komutatif gratis monoid yang dihasilkan oleh x₁,...,x_n, dengan satuan sebagai elemen terendah, dan menghormati perkalian. Dalam hal ini, urutan ini mendefinisikan suku tak-hilang tertinggi dalam p , dan p dapat disebut monik, jika suku tersebut memiliki koefisien satu.

"Polinomial monik multivariat "menurut salah satu definisi memiliki beberapa sifat yang sama dengan polinomial monik" biasa "(univariat). Khususnya, produk dari polinomial monik adalah monik.

Referensi

• Pinter, Charles C. (2010) [Unabridged republication of the 1990 second edition of the work originally published in 1982 by the McGraw–Hill Publishing Company]. A Book of Abstract Algebra. Dover. ISBN 978-0486474175.