Anello semplice

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In algebra astratta un anello semplice è un anello che ha come unici ideali bilateri l'ideale nullo e se stesso. Il termine semplice indica che l'anello non è scomponibile in anelli più semplici, in quanto non possiede alcun anello quoziente, salvo quelli banali.

Gli ideali massimali sono in stretto rapporto con gli anelli semplici, infatti dato ${\displaystyle A}$ anello:

${\displaystyle I\,\mathrm {massimale} \Leftrightarrow A/I\,\mathrm {semplice} }$

Inoltre se ${\displaystyle A}$ anello commutativo unitario abbiamo che il quoziente ${\displaystyle A/I}$ oltre a essere semplice è anche un campo; questo non è più vero in un anello senza unità, ad esempio l'ideale ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ è massimale in ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, ma ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ non è un campo nonostante sia un anello semplice.

Il teorema di Artin-Wedderburn fornisce una caratterizzazione degli anelli semplici artiniani.

• L'algebra di Weyl è un anello semplice;
• gli anelli di matrici su corpi sono semplici;

• Ideale massimale
• Ideale nullo

• (EN) Eric W. Weisstein, Simple Ring, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Simple ring, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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