Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411ef85e18cd53cd27b454fbe95aece84da6eacf)
dove la variabile
indica un numero primo.
Dimostrazione (Eulero)
Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}\right)^{n}<e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243c1b6cd085062646768cc889132f3bd1d31360)
per ogni
intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene
![{\displaystyle n\,\ln \left(1+{\frac {1}{n}\right)<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9ea942d2d1d153f7ee627fddf1ddf658e0660)
da cui
![{\displaystyle \ln \left(1+{\frac {1}{n}\right)<{\frac {1}{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468ebcfe90b50f7a71e4c9ee71fab8f280d6ee09)
e infine
![{\displaystyle \ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)<{\frac {1}{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16de93df90dcb3f2afcca4ad1f5c9486abed24df)
Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a
si ricava
[1]
Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto
come
![{\displaystyle P\left(x\right)=\prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca767ed6ce233712b4700811307778b07e789302)
Sapendo che
[2]
si ricava
![{\displaystyle P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}{\frac {1}{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b655fc86fd507fa32b2214f9bf2d121ff823c385)
dove l'insieme
è definito come
![{\displaystyle A\left(x\right)=\lbrace n:p|n\Longrightarrow p\leq x\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8788e21c9377e69db4904707ce70fe5a919c74f)
Evidentemente se
allora
quindi
![{\displaystyle P\left(x\right)>\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5603a87bd1a44630a2ef116372ba70d7cd7cdb47)
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
![{\displaystyle P\left(x\right)>\ln \left(x+1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cfadfdd9521e752ea66a4fbbd1889f96e5b989)
Adesso sapendo che
per ogni
si ottiene
![{\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}>-{\frac {1}{2}\sum _{p\leq x}\ln \left(1-{\frac {1}{p}\right)={\frac {1}{2}\ln P\left(x\right)>{\frac {1}{2}\ln \ln x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1504e58072f9b2ad18d2243e79d66bfa3f93)
dove l'ultimo membro diverge per
tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
Seconda dimostrazione (Eulero)
Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:
![{\displaystyle S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}\right)=\sum _{p}-\ln \left(1-{\frac {1}{p}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11baf21b7e13c17d3728528cf6be4882623f722)
usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di
:
![{\displaystyle S=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}+{\frac {1}{2p^{2}+{\frac {1}{3p^{3}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}\left({\frac {1}{2}+{\frac {1}{3p}+{\frac {1}{4p^{2}+\cdots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3add8a530db02965026e20353e367c6dd847c7)
I termini
ecc., possono essere maggiorati come:
![{\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}\left(1+{\frac {1}{p}+{\frac {1}{p^{2}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcbaaad513c03060d29d825826a08d960724142)
Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi
![{\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a0148f7c98deb17e00afacd71d9c469c1153b4)
Poiché la somma
cresce come
per
tendente all'infinito, Eulero concluse che
![{\displaystyle {\frac {1}{2}+{\frac {1}{3}+{\frac {1}{5}+{\frac {1}{7}+{\frac {1}{11}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}\approx \ln \ln {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46e48981ad091889d1b4aa60ceccde44839d3b)
Terza dimostrazione (Erdős)
La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.
Per assurdo sia
allora esiste un numero primo
tale che
.
Sia
un intero arbitrario, indichiamo con
il numero di interi minori o uguali a
che hanno solo fattori primi minori o uguali a
, indichiamo anche
. Abbiamo che
![{\displaystyle N_{2}\leq \sum _{p\geq P}\left\lfloor {\frac {N}{p}\right\rfloor <\sum _{p\geq P}{\frac {N}{p}<{\frac {N}{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a60b3e382f1e6bb2c52e3ee79f79336c8db058)
Ora stimiamo
, scriviamo
, ogni
si può scrivere nella forma
![{\displaystyle x=yz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092fa14c54874136a444565d67723297a6f7ec72)
dove
è privo di quadrati e
, se
è divisibile solo per i primi minori o uguali a
, allora lo è anche
. Ci sono meno di
possibili scelte per
e meno di
scelte per
, da cui
![{\displaystyle N_{1}\leq 2^{k}{\sqrt {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffb9da245dc58b405a497449c66cb28651d29bc)
e quindi
![{\displaystyle N<2^{k}{\sqrt {N}+{\frac {N}{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ee678ce78f72e5e08f4a41c075727b71da086b)
si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha
e di conseguenza
, quindi possiamo scegliere
e troviamo
![{\displaystyle N<2^{k}(2^{k+1})+2^{2k+1}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8484ee23faf9469eaa89c2eeeca073337472cf)
che è assurdo e conclude la dimostrazione.
Note
- ^ Questa è una serie telescopica che si riduce a
.
- ^ Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato
(in questo caso
), si ha
.
Voci correlate