Funzione additiva

Disambiguazione – Se stai cercando l'additività in teoria della misura, vedi Sigma additività.

In teoria dei numeri, una funzione additiva è una funzione aritmetica f(n) dell'intero n tale che per ogni a e b interi coprimi si abbia:

${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)\,}$

Una funzione additiva ${\displaystyle f(n)}$ è detta completamente additiva se ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$ è vera per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.

Ogni funzione completamente additiva è additiva, ma non viceversa.

Sono funzioni aritmetiche completamente additive:

• La funzione logaritmo considerata in N.
• a₀(n) - la somma dei primi che dividono n. Abbiamo a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. Alcuni valori: (OEIS A001414).

a₀(4) = 4

a₀(27) = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2.000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2.001) = 55

a₀(2.002) = 33

a₀(2.003) = 2003

a₀(54.032.858.972.279) = 1240658

a₀(54.032.858.972.302) = 1780417

a₀(20.802.650.704.327.415) = 1240681

...

• a₁(n) - la somma dei primi distinti che dividono n. Abbiamo: a₁(1) = 0, a₁(20) = 2 + 5 = 7. Alcuni ulteriori valori: (OEIS A008472)

a₁(4) = 2

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2.000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2.001) = 55

a₁(2.002) = 33

a₁(2.003) = 2003

a₁(54.032.858.972.279) = 1238665

a₁(54.032.858.972.302) = 1780410

a₁(20.802.650.704.327.415) = 1238677

...

• La funzione Ω(n), definita come il numero totale di fattori primi di n, contando ogni fattore nella sua molteplicità. Ciò implica Ω(1) = 0 poiché 1 non ha fattori primi. Alcuni altri valori: (OEIS A001222^{[collegamento interrotto]})

Ω(4) = 2

Ω(27) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2.000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2.001) = 3

Ω(2.002) = 4

Ω(2.003) = 1

Ω(54.032.858.972.279) = 3

Ω(54.032.858.972.302) = 6

Ω(20.802.650.704.327.415) = 7

...

• ω(n), definita come il numero totale di fattori primi distinti di n. Questo è un esempio di funzione additiva che non è completamente additiva. Alcuni valori (confronta con Ω(n)) (OEIS A001221):

ω(4) = 1

ω(27) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2.000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2.001) = 3

ω(2.002) = 4

ω(2.003) = 1

ω(54.032.858.972.279) = 3

ω(54.032.858.972.302) = 5

ω(20.802.650.704.327.415) = 5

...

Da qualunque funzione additiva ${\displaystyle f(n)\,}$ si può facilmente creare una funzione moltiplicativa ${\displaystyle g(n)}$ , cioè con la proprietà che per ogni a e b coprimi si abbia:

${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b)}$

Un esempio è ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}$

Al di fuori della teoria dei numeri, si definisce funzione additiva una funzione che preserva l'operazione di addizione:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

per ogni elemento x e y del dominio. L'equazione funzionale precedente è nota come equazione di Cauchy.

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Anello di funzioni aritmetiche), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp 97 - 108) (MSC (2000) 11A25)

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione additiva, su MathWorld, Wolfram Research.

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