Funzione aritmetica

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".

In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.

Proprietà

Una funzione aritmetica f può essere:

• additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
• moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.

Funzioni additive

ω(n) – divisori primi distinti

La funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

se ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni completamente additive

Ω(n) – divisori primi

La funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

se ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

ν_p(n) – divisori potenze di primi

La funzione valutazione p-adica ν_p(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n

${\displaystyle \nu _{p_{j}(n)=a_{j},}$

se ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni moltiplicative

σ_k(n), τ(n), d(n) – somme di divisori

La funzione σ_k(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$

Nel caso particolare k=0, la funzione σ₀(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) o τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).

Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha

${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$

Nel caso particolare k=1, la funzione σ₁(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).

φ(n) – funzione toziente di Eulero

La funzione toziente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}\right).}$

J_k(n) – funzione toziente di Jordan

La funzione toziente di Jordan Jk(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}\right).}$

Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J₁(n)=φ(n).

μ(n) - funzione di Möbius

La funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{if }\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{if }\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}$

Funzioni completamente moltiplicative

λ(n) – funzione di Liouville

La funzione di Liouville λ(n) è definita da

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$

χ(n) – caratteri

Tutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.

Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}\right)^{a_{1}\left({\frac {a}{p_{2}\right)^{a_{2}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}\right)^{a_{\omega (n)}.}$

In questa formula ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p})}$ è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }a\equiv 0{\pmod {p}\\+1{\mbox{ if }a\not \equiv 0{\pmod {p}{\mbox{ and for some integer }x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}\\-1{\mbox{ if there is no such }x.\end{cases}$

per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}\right)=1.}$

Funzioni né additive né moltiplicative

π(x) – enumerazione di primi

Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).

La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$

Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).

Λ(n) – funzione di von Mangoldt

La funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{if }n=p^{k}{\mbox{ is a prime power}\\0&{\mbox{if }n{\mbox{ is not a prime power}.\end{cases}$

p(n) – funzione partizione

La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):

${\displaystyle p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.}$

r_k(n) – somma di quadrati

La funzione r_k(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.}$

Ad esempio r₄(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio

${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2},}$

dunque r₄(1)=8.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).

Voci correlate

• Successione di interi
• Funzione di Möbius
• Funzione φ di Eulero

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle funzioni aritmetiche

V · D · M Teoria dei numeri
Numeri più usati	Naturali · Interi · Pari e dispari
Principi generali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza
Successioni di interi	Fattoriale · Successione di Fibonacci · Numero di Catalan · Numero di Perrin · Numero di Eulero · Successione di Mian-Chowla · Successione di Thue-Morse
Caratteristiche dei numeri primi	Numero primo · Lemma di Euclide · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica · Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Teorema dei numeri primi
Funzioni aritmetiche	Funzione moltiplicativa · Funzione additiva · Convoluzione di Dirichlet · Funzione φ di Eulero · Funzione di Möbius · Funzione tau sui positivi · Funzione sigma · Funzione di Liouville · Funzione di Mertens
Aritmetica modulare	Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Criteri di divisibilità · Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati · Teorema di Wilson · Legge di reciprocità quadratica
Congetture	Congettura di Goldbach · Congettura di Polignac · Congettura abc · Congettura dei numeri primi gemelli · Congettura di Legendre · Nuova congettura di Mersenne · Congettura di Collatz · Ipotesi di Riemann
Altro	Problema di Waring
Principali teorici	Fibonacci · Fermat · Gauss · Eulero · Legendre · Riemann · Dirichlet
Discipline connesse	Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri · Crittografia · Teoria computazionale dei numeri

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica