In matematica l'espressione funzioni integrali trigonometriche fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante integrali di funzioni trigonometriche .
Seno Grafico di Si(x ) per 0 ≤ x ≤ 8 π . Esistono due definizioni del seno integrale:
Si
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}\,dt}
si
(
x
)
=
−
∫
x
+
∞
sin
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}\,dt}
Per definizione
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
primitiva della funzione sinc
sin
(
x
)
/
x
{\displaystyle \sin(x)/x}
si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {si} (x)}
Si
(
x
)
−
si
(
x
)
=
∫
0
∞
sin
t
t
d
t
=
π
2
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}\,dt={\frac {\pi }{2}~.}
Poiché la funzione
s
i
n
c
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}
intera (cioè olomorfa nell'intero piano complesso),
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
Se si considera il seno integrale come la convoluzione della funzione sinc con la funzione gradino di Heaviside , ciò corrisponde a troncare la serie di Fourier , ed è pertanto un modo per descrivere il fenomeno di Gibbs .
Coseno Grafico di Ci(x ) per 0 < x ≤ 8π. Vi sono diverse definizioni del coseno integrale:
Ci
(
x
)
=
−
∫
x
+
∞
cos
t
t
d
t
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}\,dt=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}\,dt}
Cin
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}\,dt}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni . Qualche testo usa
ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ci} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
La funzione
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
cos
(
x
)
/
x
{\displaystyle \cos(x)/x}
Cin
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
Seno iperbolico Il seno iperbolico integrale ha la forma:
Shi
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
t
t
d
t
=
shi
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}\,dt=\operatorname {shi} (x)}
Shi
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
+
1
)
=
x
+
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
+
x
7
7
!
⋅
7
+
⋯
{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)!(2n+1)}=x+{\frac {x^{3}{3!\cdot 3}+{\frac {x^{5}{5!\cdot 5}+{\frac {x^{7}{7!\cdot 7}+\cdots }
È legata alla precedente funzione seno integrale dalla relazione
Si
(
i
x
)
=
i
Shi
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}
Coseno iperbolico Il coseno iperbolico integrale è:
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
(
|
A
r
g
(
x
)
|
<
π
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}\,dt\qquad (|{\rm {Arg}(x)|<\pi )}
dove
γ
{\displaystyle \gamma }
costante di Eulero-Mascheroni .
Ha come espansione in serie
Chi
(
x
)
=
γ
+
ln
(
x
)
+
1
4
x
2
+
1
96
x
4
+
1
4320
x
6
+
1
322560
x
8
+
1
36288000
x
10
+
O
(
x
12
)
{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{4}x^{2}+{\frac {1}{96}x^{4}+{\frac {1}{4320}x^{6}+{\frac {1}{322560}x^{8}+{\frac {1}{36288000}x^{10}+O(x^{12})}
Scrittura alternativa Utilizzando le funzioni:
f
(
x
)
≡
∫
0
+
∞
sin
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
+
∞
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
Ci
(
x
)
sin
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
cos
(
x
)
{\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}{t^{2}+1}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}
g
(
x
)
≡
∫
0
+
∞
cos
(
t
)
t
+
x
d
t
=
∫
0
+
∞
t
e
−
x
t
t
2
+
1
d
t
=
−
Ci
(
x
)
cos
(
x
)
+
[
π
2
−
Si
(
x
)
]
sin
(
x
)
{\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {te^{-xt}{t^{2}+1}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}
l'integrale trigonometrico può essere riscritto come:[1]
Si
(
x
)
=
π
2
−
f
(
x
)
cos
(
x
)
−
g
(
x
)
sin
(
x
)
Ci
(
x
)
=
f
(
x
)
sin
(
x
)
−
g
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&\displaystyle {\frac {\pi }{2}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)\\\end{array}
Espansioni L'espansione dell'integrale trigonometrico in serie asintotica :
Si
(
x
)
=
π
2
−
cos
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
sin
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}-{\frac {\cos x}{x}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}+{\frac {4!}{x^{4}-{\frac {6!}{x^{6}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}\left({\frac {1}{x}-{\frac {3!}{x^{3}+{\frac {5!}{x^{5}-{\frac {7!}{x^{7}\cdots \right)}
Ci
(
x
)
=
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
6
!
x
6
⋯
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
−
7
!
x
7
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {\sin x}{x}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}+{\frac {4!}{x^{4}-{\frac {6!}{x^{6}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}\left({\frac {1}{x}-{\frac {3!}{x^{3}+{\frac {5!}{x^{5}-{\frac {7!}{x^{7}\cdots \right)}
è una serie divergente, utilizzata per valutare l'integrale per
R
e
(
x
)
≫
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (x)\gg 1}
L'espansione:
Si
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
±
⋯
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}{(2n+1)(2n+1)!}=x-{\frac {x^{3}{3!\cdot 3}+{\frac {x^{5}{5!\cdot 5}-{\frac {x^{7}{7!\cdot 7}\pm \cdots }
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
+
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
∓
⋯
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}{2!\cdot 2}+{\frac {x^{4}{4!\cdot 4}\mp \cdots }
è invece convergente per ogni
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
|
x
|
≫
1
{\displaystyle |x|\gg 1}
Esponenziale integrale La funzione integrale esponenziale:
E
1
(
z
)
=
∫
1
+
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
R
e
(
z
)
≥
0
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}\,dt\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0}
è strettamente legata con
Si
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Si} (x)}
Ci
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
Si
(
x
)
)
−
Ci
(
x
)
=
i
si
(
x
)
−
ci
(
x
)
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad x>0}
Note Bibliografia (DE Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten
(EN Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables(Chapter 5)
(EN Appl. Numer. Math. 34 , 95-98, 2000.
(EN Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ. Princeton University Press, pp. 105-106, 2003. Voci correlate Collegamenti esterni
(EN Integral sine Encyclopaedia of Mathematics (EN Integral cosine Encyclopaedia of Mathematics (EN Sine Integral MathWorld (EN Cosine Integral MathWorld (EN Difference Equations to Differential Equations Archiviato il 5 novembre 2015 in Internet Archive .. 
![{\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}{t^{2}+1}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d552b6fef78a4dd8aa891607aad1697018b088)
![{\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}dt=\int _{0}^{+\infty }{\frac {te^{-xt}{t^{2}+1}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3886bb335ba5256c3172b2504c7d1e2943415f)
