Funzioni di Struve

In matematica, le funzioni di Struve sono funzioni speciali che sono soluzioni dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea di Bessel:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}w}{dz^{2}+z{\frac {dw}{dz}+(z^{2}-\nu ^{2})w={\frac {4(z/2)^{\nu +1}{\sqrt {\pi }\Gamma (\nu +{1 \over 2})}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione Gamma. La sua soluzione generale ha una forma del tipo:

${\displaystyle w(z)=aJ_{\nu }(z)+bY_{\nu }(z)+\mathbf {H} _{\nu }(z)}$

dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono costanti arbitrarie, mentre ${\displaystyle \,J_{\nu }(z)}$ e ${\displaystyle \,Y_{\nu }(z)}$ denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione ${\displaystyle \mathbf {H} _{\nu }(z)}$ è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedente, e viene chiamata funzione di Struve di ordine ${\displaystyle \nu }$.

Definizione

Trattandosi di un'equazione non omogenea, la soluzione dell'equazione di Bessel può essere costruita a partire da una soluzione particolare aggiungendo le soluzioni della rispettiva equazione omogenea. In questo caso, le soluzioni omogenee sono le funzioni di Bessel, e la soluzione particolare può essere scelta come la corrispondente funzione di Struve.

L'espansione delle funzioni di Struve ${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)}$ in serie di potenze ha la seguente forma:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}\right)^{\nu +1}\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {({\frac {z}{2})^{2k}{\Gamma (k+{\frac {3}{2})\Gamma (k+\nu +{\frac {3}{2})}$

In particolare:

${\displaystyle \mathbf {H} _{0}(z)={\frac {2}{\pi }\,z\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {z}{2j+1}\right)^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}(z)=-{\frac {2}{\pi }\,\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\prod _{j=1}^{k}{\frac {z^{2}{4j^{2}-1}$

La funzione di Struve modificata, denotata con ${\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)}$, si sviluppa in serie di potenze come:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}\right)^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{2}+k\right)\Gamma \left({\frac {3}{2}+k+\nu \right)}\left({\frac {z}{2}\right)^{2k}$

Forma integrale

Una definizione alternativa della funzione di Struve per valori di ${\displaystyle \alpha }$ che soddisfano ${\displaystyle \Re (\alpha )>-1/2}$ è possibile tramite la rappresentazione integrale:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}\right)^{\alpha }{\sqrt {\pi }\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}\right)}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau }$

Forme asintotiche

Per piccoli valori di ${\displaystyle x}$, lo sviluppo in serie di potenze è data sopra, mentre per grandi valori di ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\to {\frac {\left({\frac {x}{2}\right)^{\alpha -1}{\sqrt {\pi }\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}\right)}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}\right)^{\alpha -3}\right)}$

dove ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ è la funzione di Neumann.

Proprietà

Le funzioni di Struve soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}\right)^{\alpha }{\sqrt {\pi }\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}\right)}\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}\right)^{\alpha }{\sqrt {\pi }\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}\right)}\end{aligned}$

Collegamenti con altre funzioni speciali

Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni special, come le funzioni di Bessel ${\displaystyle \,J_{\nu }(z)}$ e ${\displaystyle \,Y_{\nu }(z)}$, le funzioni di Bessel sferiche modificate ${\displaystyle \,I_{\nu }(z)}$, le funzioni di Anger ${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(iz)}$, funzioni di Weber ${\displaystyle \mathbf {E} _{n}$ e le funzioni di Struve modificate ${\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(iz)}$. Nello specifico, per quanto riguarda le funzioni di Weber, possono essere scritte attraverso di esse e viceversa, ovvero se ${\displaystyle n}$ è un intero non-negativo allora:

${\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}\right)\left({\frac {z}{2}\right)^{n-2k-1}{\Gamma \left(n-k-{\frac {1}{2}\right)}\mathbf {H} _{n}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}{\pi }\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}\right\rfloor }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2})\left({\frac {z}{2}\right)^{-n+2k+1}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}\right)}\mathbf {H} _{-n}$

Le funzioni di Struve di ordine ${\displaystyle n+1/2}$, con ${\displaystyle n}$ intero, possono inoltre essere scritte tramite funzioni elementari; in particolare se ${\displaystyle n}$ è un intero non-negativo allora:

${\displaystyle \mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}(z)}$

dove il membro di destra è una funzione di Bessel sferica.

Le funzioni di Struve di ordine qualsiasi possono anche essere definite con la funzione ipergeometrica generalizzata ${\displaystyle {}_{1}F_{2}$:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}\right)^{\alpha +{\frac {1}{2}{\sqrt {2\pi }\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}\right)}{}_{1}F_{2}\left(1,{\tfrac {3}{2},\alpha +{\tfrac {3}{2},-{\tfrac {z^{2}{4}\right)}$

Bibliografia

• (EN) G. N. Watson (1922) A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press (Capitolo 10, sezione 10.4 pp. 328-338)
• (EN) Y. L. Luke (1962): Integrals of Bessel functions, McGraw-Hill
• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Chapter 12
• (EN) Shanjie Zhang, Jianming Jin (1996): Computation of Special functions, J.Wiley (Chapter 11)
• (EN) R. B. Paris (2010): Struve and Related Functions Digital Library of Mathematical Functions

Voci correlate

• Armoniche cilindriche
• Equazioni di Bessel
• Funzioni di Anger
• Funzioni di Lommel
• Funzioni di Struve modificate
• Serie di potenze

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzioni di Struve

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzioni di Struve, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.B. Ivanov, Struve function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Struve function in functions.wolfram.com
• (EN) J. P. Mason, http://torpedo.nrl.navy.mil/tu/ps/doc.html?dsn=352291&hi=1&p=1^{[collegamento interrotto]} NRL Memorandum Reports, MR-3181, 1975.

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