Lemma della farfalla

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Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ due sottogruppi di un gruppo ${\displaystyle G}$, siano ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ sottogruppi normali di ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$ rispettivamente, allora:

1. ${\displaystyle H(U\cap K)}$ è normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$
2. ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

${\displaystyle H(U\cap V)/H(U\cap K)\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$

Una possibile dimostrazione del Lemma è:

Si verifica che ${\displaystyle H(U\cap K)}$ è normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$.

Si può osservare che ${\displaystyle U\cap K}$ è normale in ${\displaystyle U\cap V}$, infatti ${\displaystyle \forall k\in U\cap K}$ e ${\displaystyle \forall v\in U\cap V}$ si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}vkv^{-1}\in K,&{\text{perché}\ K\ {\text{è normale in}\ V,\\vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}\ k,v\in U.\end{cases}\implies vkv^{-1}\in U\cap K}$.

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che ${\displaystyle H(U\cap K)}$ ė normale in ${\displaystyle H(U\cap V)}$.

Si verifica che ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$.

Si può osservare che ${\displaystyle H\cap V}$ è normale in ${\displaystyle U\cap V}$. Infatti, ${\displaystyle \forall k\in H\cap V}$ e ${\displaystyle \forall v\in U\cap V}$, si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}vkv^{-1}\in U,&{\text{perché}\ H\ {\text{è normale in}\ U,\\vkv^{-1}\in V,&{\text{perché}\ k,v\in V.\end{cases}\implies vkv^{-1}\in H\cap V.}$

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che ${\displaystyle (H\cap V)K}$ è normale in ${\displaystyle (U\cap V)K}$.

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati ${\displaystyle H,K,U,V,}$ tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))(U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale ${\displaystyle U\cap V}$,

e come punto finale ${\displaystyle (H\cap V)(U\cap K)}$. Si ha l'isomorfismo:

${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)/((H\cap V)(U\cap K))}$

Applicando il teorema di isomorfismo:

${\displaystyle G/((G\cap N))\cong GN/N}$,

Con ${\displaystyle G=U\cap V}$ e ${\displaystyle N=H(U\cap K)}$.

Questo dà l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui ${\displaystyle (H(U\cap V))/(H(U\cap K))\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}$.

Q.E.D.

• J. Lambek Pierce, The Butterfly and the Serpent, 1996, p. 27, exercise 1
• Aldo Ursini, Paulo Agliano, Logic and Algebra, CRC Press, pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky, Rings, Modules and Representations, AMS Bookstore, 2009, p. 6 ISBN 0-8218-4370-2
• Hans Zassenhaus, Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1934
• Hans Zassenhaus, Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, Chelsea Publishing, 1958, p. 74

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