모듈러 람다 함수

수학에서 모듈러 람다 함수(영어: modular lambda function)는 합동 부분군 ${\displaystyle \Gamma (2)}$에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {H} }$가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}$이라면,

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}{\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}=\left({\frac {\sqrt {2}\eta (\tau /2)\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}\right)^{8}$

바이어슈트라스 타원함수 ${\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle \to {\widehat {\mathbb {C} }$는 타원 곡선${\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$에서 리만 구면 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }$으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

${\displaystyle e_{1}=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{2}=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{3}=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle e_{4}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})={\widehat {\infty }$

에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

${\displaystyle \lambda (\omega _{2}/\omega _{1})={\frac {(e_{3}-e_{2})(e_{4}-e_{1})}{(e_{1}-e_{2})(e_{4}-e_{3})}={\frac {e_{3}-e_{2}{e_{1}-e_{2}$

이에 따라, ${\displaystyle \lambda }$는 비조화군(anharmonic group) ${\displaystyle \Gamma (1)/\Gamma (2)\cong S_{3}$의 작용에 따라 변환한다.

모듈러 람다 함수 ${\displaystyle \lambda (\tau )}$는 합동 부분군 ${\displaystyle \Gamma (2)}$에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 ${\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lambda (\tau +2)=\lambda (\tau /(1-2\tau ))=\lambda (\tau )}$

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 ${\displaystyle X(2)=\mathbb {H} /\Gamma (2)}$와 리만 구면 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }$ 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다. 모듈러 군 ${\displaystyle \Gamma (1)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle \lambda (\tau +1)={\frac {\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}$

${\displaystyle \lambda (-1/\tau )=\lambda (\tau )-1}$

${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977)

${\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$

함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

${\displaystyle {\frac {K[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}]}{K[\lambda ^{*}(x)]}={\sqrt {x}$

K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x})]}{\vartheta _{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x})]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}]{\biggr \}^{2}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}){\biggr ]}^{-2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}]{\biggr \}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}){\biggr ]}^{-1}$

함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x})}$

양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다.

${\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}$

다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:

${\displaystyle {\sqrt {n}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}{\biggr )}{\biggr \}$

표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.

${\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{\frac {2a-1}{n}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}$

표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{*}(x)]/2\}^{2}$

${\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(4/x)]\}=1}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(4/x)+\lambda ^{*}(x)+\lambda ^{*}(4/x)=1}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2\lambda ^{*}(x)^{1/4}\lambda ^{*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{*}(x)^{3/4}\lambda ^{*}(9x)^{3/4}$

${\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}=}$

${\displaystyle =2{\sqrt {2}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{3/4}$

${\displaystyle \tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/2}=}$

${\displaystyle =2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{5/12}$

홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}{\sqrt {2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}({\sqrt {3}-1)({\sqrt {2}-{\sqrt[{4}]{3})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(17)=\sin\{\tfrac {1}{2}\arcsin[({\tfrac {5}{4}+{\tfrac {1}{4}{\sqrt {17}-{\tfrac {1}{4}{\sqrt {10{\sqrt {17}+26})^{3}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(25)={\tfrac {1}{2}{\sqrt {2}({\sqrt {5}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(33)=\sin\{\tfrac {1}{2}\arcsin[(10-3{\sqrt {11})(2-{\sqrt {3})^{3}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(41)=\sin\{\tfrac {1}{2}\arcsin[({\tfrac {1}{8}{\sqrt {41}+{\tfrac {5}{8}+{\tfrac {1}{8}{\sqrt {2{\sqrt {41}+10}-{\tfrac {1}{4}{\sqrt {\sqrt {58{\sqrt {41}+370}+3{\sqrt {41}+3})^{6}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(49)={\tfrac {1}{1024}{\sqrt {2}[2{\sqrt {2}-{\sqrt[{8}]{28}{\sqrt {3+{\sqrt {7}({\sqrt[{4}]{28}-{\sqrt {7}+1)]^{4}$

홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(5)=\sin[{\tfrac {1}{2}\arcsin({\sqrt {5}-2)]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(13)=\sin[{\tfrac {1}{2}\arcsin(5{\sqrt {13}-18)]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(21)=\sin\{\tfrac {1}{2}\arcsin[(8-3{\sqrt {7})(2{\sqrt {7}-3{\sqrt {3})]\}$

홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(3)={\tfrac {1}{4}{\sqrt {2}({\sqrt {3}-1)}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(7)={\tfrac {1}{8}{\sqrt {2}(3-{\sqrt {7})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}{\sqrt {2}({\sqrt {11}+3)({\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}+2{\sqrt {11}-{\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}-2{\sqrt {11}+{\tfrac {1}{3}{\sqrt {11}-1)^{4}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(15)={\tfrac {1}{16}{\sqrt {2}(3-{\sqrt {5})({\sqrt {5}-{\sqrt {3})(2-{\sqrt {3})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(19)={\tfrac {1}{16}{\sqrt {2}(3{\sqrt {19}+13)[{\tfrac {1}{6}({\sqrt {19}-2+{\sqrt {3}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}-{\sqrt {19}-{\tfrac {1}{6}({\sqrt {19}-2-{\sqrt {3}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}+{\sqrt {19}-{\tfrac {1}{3}(5-{\sqrt {19})]^{4}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(23)={\tfrac {1}{32}{\sqrt {2}(5+{\sqrt {23})[{\tfrac {2}{3}+{\tfrac {1}{6}({\sqrt {3}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}-{\tfrac {1}{6}({\sqrt {3}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}]^{4}$

짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}-1}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}-3)({\sqrt {2}-1)^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(18)=(2-{\sqrt {3})^{2}({\sqrt {2}-1)^{3}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(26)=({\sqrt {26}+5)({\sqrt {2}-1)^{2}\tan[{\tfrac {1}{4}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}+{\sqrt {26}-{\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}-{\sqrt {26}+{\tfrac {1}{6}{\sqrt {26}-{\tfrac {1}{2}{\sqrt {2})]^{4}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(34)=\tan\{\tfrac {1}{2}\arctan[({\tfrac {1}{4}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}-{\tfrac {1}{4}{\sqrt {2{\sqrt {17}-2})^{12}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(42)=(8-3{\sqrt {7})({\sqrt {7}-{\sqrt {6})(2-{\sqrt {3})^{2}({\sqrt {2}-1)^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(50)=({\sqrt {2}-1)\tan[\arctan({\tfrac {1}{3}{\sqrt {5}-{\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}+4{\sqrt {5}+{\tfrac {1}{3}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}-4{\sqrt {5})-{\tfrac {1}{8}\pi ]^{4}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}-99)({\sqrt {2}-1)^{6}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(66)=\tan\{\tfrac {1}{4}\arcsin[({\tfrac {13}{62}+{\tfrac {1}{186}{\sqrt {33}-{\tfrac {1}{186}{\sqrt {3426{\sqrt {33}-17790})^{2}]\}$

짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3})({\sqrt {3}-{\sqrt {2})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(14)=\tan[{\tfrac {1}{4}\arcsin({\tfrac {8}{7}{\sqrt {2}-{\tfrac {11}{7})]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11})(3{\sqrt {11}-7{\sqrt {2})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(30)=(4-{\sqrt {15})({\sqrt {6}-{\sqrt {5})(2-{\sqrt {3})({\sqrt {3}-{\sqrt {2})^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(38)=\tan\{\tfrac {1}{2}\arctan[({\sqrt {2}-1)^{6}({\tfrac {1}{6}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}+12{\sqrt {57}+52{\sqrt {2}+36}-{\tfrac {1}{6}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}+12{\sqrt {57}-52{\sqrt {2}-36}+{\tfrac {1}{3}{\sqrt {2})^{12}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(46)=\tan[{\tfrac {1}{4}\arcsin({\tfrac {104}{207}{\sqrt {2}-{\tfrac {49}{69})]}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(54)=(2-{\sqrt {3})^{3}({\sqrt {3}-{\sqrt {2})^{3}\tan[\arctan({\tfrac {2}{3}{\sqrt {3}{\sqrt[{3}]{\sqrt {2}+1}+{\tfrac {2}{3}{\sqrt {6}{\sqrt[{3}]{\sqrt {2}-1}+{\tfrac {1}{3}{\sqrt {6}-{\tfrac {1}{3}{\sqrt {3})-{\tfrac {1}{4}\pi ]^{4}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(62)=\tan\{\tfrac {1}{2}\arctan[({\tfrac {1}{4}{\sqrt {9+5{\sqrt {2}+{\tfrac {1}{4}{\sqrt {\sqrt {2}+1}-{\tfrac {1}{4}{\sqrt {2{\sqrt {14{\sqrt {2}+19}+6{\sqrt {2}-6})^{12}]\}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(70)=(3{\sqrt {14}-5{\sqrt {5})(8-3{\sqrt {7})(6-{\sqrt {35})(2{\sqrt {2}-{\sqrt {7})^{2}$

짝수 4z 위치의 람다 값:

${\displaystyle \lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}-1)^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(8)=({\sqrt {2}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}+2})^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}-{\sqrt {2})^{2}({\sqrt {2}-1)^{2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}-1)^{4}$

• Chandrasekharan, K. (1985), 《Elliptic Functions》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 281, Springer, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 
• Rankin, Robert A. (1977), 《Modular Forms and Functions》 (영어), Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020 

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic lambda function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf
• https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf