수론과 대수기하학에서 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다.[1] 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
정의
모듈러 군
의 부분군
가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰
에 대하여
라면,
를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수
을 합동 부분군
의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.
Γ(1)은 자연스럽게 상반평면
에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군
또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간
를 (비콤팩트) 모듈러 곡선
라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.
콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)
![{\displaystyle \mathbb {H} ^{*}=\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560287e64e34fbf0e633dc926dd9aadc46108d04)
을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58 ![{\displaystyle X(G)=G\setminus \mathbb {H} ^{*}=Y(G)\cup G\setminus (\mathbb {Q} \cup \{i\infty \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4de469a32590003148f79f56220429013fa44d2)
대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.
타원점과 첨점
합동 부분군
의 타원점
는 그 점에서의
-작용에 대한 안정자군
가 자명하지 않는 (
보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우,
의 크기를 타원점
의 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은
의 모듈러 곡선
위의 한 점으로 간주할 수 있다.
합동 부분군
의 첨점(尖點, 영어: cusp)은 :
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.
타원곡선과의 관계
모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다. 예를 들어,
은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다.
는 타원 곡선
![{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda (z,\tau z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c4e89a1fc67bcb5f8bc6ed725ed39ab9ab2a63)
과 대응된다. 여기서
는
에 의하여 생성되는 2차원 격자이며,
는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른
를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)
X(N)
X(N)의 경우, 타원곡선
위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들
이다.[2]:440
와
의 차수는
의 약수이다. 즉,
이다.
와
의 베유 쌍(Weil pairing)은
이다.
복소수체의 경우, 두
차 점
![{\displaystyle p=(a+b\tau )/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0693a2ee39cf6ec1210a0fcd114c94c516998e)
![{\displaystyle q=(c+d\tau )/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622b5129b964be32f6dea733c9f7312c44977033)
![{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} /N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0760b58b9e88bb5c420c8b8f065941935e193cd)
의 베유 쌍은
![{\displaystyle e_{N}(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09fbd538b5b8d29c3cdf4815b94a81fa23c3020)
이다.
이에 따라서
는 N차 꼬임 부분군
![{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon Nz\in \Lambda \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f019be677575aa3e0cee08f3a9ffad205d51bf6)
의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의
에 대하여 이는
![{\displaystyle (p,q)=(1/N,\tau /N)\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7caf5dcb8b32d4547516516f47ae52531735bce)
로 주어진다.
X0(N)
X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N차 순환 부분군
![{\displaystyle i\colon \mathbb {Z} /n\hookrightarrow C/\Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a5bda0e3020b94151925c4f42be8739c82351b)
이다.[2]:440 구체적으로,
에 대하여 이는
![{\displaystyle \{0,1/N,2/N,\dots ,(N-1)/N\}\subset \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69b10f22be72a0517624128655051d989ada2fd)
이다.
X1(N)
X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가
인 점 (즉,
인
)이다.[2]:439 구체적으로,
에 대하여 이는
![{\displaystyle 1/N\in \mathbb {C} /\Lambda (1,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6afbc1060a264211467450c70a63f15cbcd0b7)
이다.
성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군
의 콤팩트 모듈러 곡선
의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68
![{\displaystyle g(X(G))=1+|\Gamma (1):G|/12-r_{2}/4-r_{3}/3-r_{\infty }/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d62c0c3eb109613790a60f3311e2b41832d8db8)
여기서
는 부분군의 지표다.
는
의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
는
의 첨점들의 수이다.
예
Γ(1)
모듈러 군
의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선
은 리만 구
와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.
![{\displaystyle j\colon \Gamma (1)\backslash \mathbb {H} \to {\hat {\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9292e2afe92f7b9fd84cc9719dcb61a90d6d8a72)
이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
- 계수가 2인 타원점 1개 (
) - 계수가 3인 타원점 1개 (
) - 첨점 1개 (
)
를 가진다. 따라서
![{\displaystyle g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f425ab6d7c584994ed2d77c52b0f7e9f05f72fb)
이다. 이는 리만 구에 해당한다.
Γ(N)
Γ(N)의 경우
이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.[1]:106
![{\displaystyle |\Gamma (1):\Gamma (N)|={\begin{cases}{\frac {1}{2}N^{3}\prod _{p|N}(1-1/p^{2})&N>2\\6&N=2\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cba6781c662eea4679a7a8c5b819aef69299c52)
또한, 이 경우
개의 첨점이 있다.[1]:106
따라서 이 경우 종수는
![{\displaystyle g=1+|\Gamma (1):\Gamma (N)|(1/12-1/2N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c230268dc36dff9d85a8025312090d5e0f13a008)
이다. 예를 들어,
인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는
![{\displaystyle g=1+6(1/12-1/4)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80704661d956be9520f7ccfd47be07cec857c18e)
이다.
N이 소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)
![{\displaystyle g=(p+2)(p-3)(p-5)/24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413a1b179f8ee8b7764cc8f5aa556b6ab2d20c88)
따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수
|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0
|
2 | 6 | 3
| 0
| 0
| 0
|
3 | 12 | 4 | 0
|
4 | 24 | 6 | 0
|
5 | 60 | 12 | 0
|
6 | 72 | 12 | 1
|
7 | 168 | 24 | 3
|
8 | 192 | 24 | 5
|
9 | 324 | 36 | 10
|
10 | 360 | 36 | 13
|
11 | 66 | 60 | 26
|
X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량
에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수
에 의해 주어진다.
Γ1(N)
Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 Γ1(N)의 지표는
![{\displaystyle |\Gamma (1):\Gamma _{1}(N)|=|\Gamma (1):\Gamma (N)|/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329e06e9dc59bf8e1975cd3559c3bf5fe8f91598)
이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.[1]:107[3]
![{\displaystyle r_{\infty }={\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\{\frac {1}{2}\sum _{d|N}\phi (d)\phi (N/d)&N>4\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24251b7188ac72d33fc9729fecdd5011c4a0252c)
(
는 오일러 피 함수이다.)
따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107[3]
여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수
|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0
|
2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0
|
3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0
|
4 | 6 | 3
| 0
| 0
| 0
|
5 | 12 | 4 | 0
|
6 | 12 | 4 | 0
|
7 | 24 | 6 | 0
|
8 | 24 | 6 | 0
|
9 | 36 | 8 | 0
|
10 | 36 | 8 | 0
|
11 | 60 | 10 | 1
|
12 | 48 | 10 | 0
|
Γ0(N)
Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
![{\displaystyle r_{2}={\begin{cases}0&4|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-1}{p}))&4\not |N\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e69e184a4c6e3cdf620f0deba3c9cf9089ad0b8)
![{\displaystyle r_{3}={\begin{cases}0&9|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-3}{p}))&4\not |N\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab27f3865b88c343be8f326a3d9192c422772129)
![{\displaystyle r_{\infty }=\sum _{0<k|N}\phi ((d,N/d))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be72fb94cd7ba55260dc2eb76aa74d83ce314b1)
여기서
는 오일러 피 함수이고,
는 르장드르 기호이다.
는
가
의 인수라는 뜻이다.
는
가
의 소인수라는 뜻이다.
이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수
|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0
|
2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0
|
3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0
|
4 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0
|
5 | 6 | 2 | 2 | 0 | 0
|
6 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0
|
7 | 8 | 2 | 0 | 2 | 0
|
8 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0
|
9 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0
|
10 | 18 | 4 | 2 | 0 | 0
|
11 | 12 | 2 | 0 | 0 | 1
|
같이 보기
각주
외부 링크