바나흐 공간

함수해석학에서 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다.^[1][2][3][4] 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간을 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이라고 한다.

• (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
• 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 ${\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty }$라면, 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.^{[5]:8, §1.2, Exercise 1.2.1}

체 ${\displaystyle \mathbb {K} }$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle \iota \colon W\hookrightarrow V}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle W}$가 닫힌집합이라면 ${\displaystyle W}$는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 ${\displaystyle P\colon V\to W}$가 존재한다면, ${\displaystyle W}$를 여공간을 가지는 부분 공간(영어: complemented subspace)라고 한다.

• ${\displaystyle P}$는 전사 함수이다.
• ${\displaystyle \iota \circ P\colon V\to V}$는 (${\displaystyle W}$로의) 사영이다. 즉, ${\displaystyle \iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P}$이다.
• ${\displaystyle P}$는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간

여분 부분 공간 ${\displaystyle W\subseteq V}$가 주어졌을 때, 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle V=W\oplus \ker P}$

그러나 이러한 ${\displaystyle P}$는 유일하지 않을 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle {\bar {V}$ 및 등거리 선형 변환 ${\displaystyle \iota \colon V\to {\bar {V}$가 존재한다.

• 상 ${\displaystyle \iota (V)\subseteq {\bar {V}$는 ${\displaystyle {\bar {V}$의 조밀 집합이다.

또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

• 임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle W}$ 및 등거리 선형 변환 ${\displaystyle j\colon V\to W}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle j(V)}$가 조밀 집합이라면, ${\displaystyle j=i\circ \iota }$인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) ${\displaystyle i\colon {\bar {V}\to W}$가 존재한다.

${\displaystyle {\bar {V}$는 거리 공간으로서 ${\displaystyle V}$의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 ${\displaystyle V}$가 이미 바나흐 공간이라면 ${\displaystyle \iota }$는 바나흐 공간 동형 사상이다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 제한 노름 ${\displaystyle \|\|_{X}\upharpoonright Y}$를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Y}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.
• ${\displaystyle Y}$는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대한 몫공간 ${\displaystyle X/Y}$ 위에

${\displaystyle \lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert }$

으로 노름을 주자. 그렇다면 ${\displaystyle X/Y}$ 역시 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle Y}$
• 연속 열린 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle T\colon X\to Y}$

그렇다면, ${\displaystyle T(X)}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간이다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간의 집합 ${\displaystyle (V_{i})_{i\in I}$
• 확장된 실수 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$

그렇다면, 직합

${\displaystyle {\tilde {V}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$

위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}^{p}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}&p=\infty \end{cases}$

그렇다면, ${\displaystyle {\tilde {V}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간을 이룬다.

만약 ${\displaystyle I}$가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 ${\displaystyle i}$에 대하여 ${\displaystyle V_{i}$가 바나흐 공간이다.
• ${\displaystyle {\tilde {V}$는 바나흐 공간이다.

이 경우, ${\displaystyle {\tilde {V}$의 (${\displaystyle p}$-노름으로 정의되는) 위상은 ${\displaystyle p}$에 의존하지 않는다.

그러나 만약 ${\displaystyle I}$가 무한 집합이라면, ${\displaystyle V_{i}$가 모두 바나흐 공간이라도 ${\displaystyle {\tilde {V}$가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle {\tilde {V}$의 완비화 ${\displaystyle V}$를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$에 따라 다르다.

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.^[6][7] 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

바나흐-샤우데르 정리(-定理, 영어: Banach-Schauder theorem) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ 사이의 전사 유계 작용소 ${\displaystyle T\colon V\to W}$는 열린 함수이다.^{[8]:48, Theorem 2.11} 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.^{[8]:51, Theorem 2.15} 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• 유계 작용소이다.
• ${\displaystyle \operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W}$는 (곱위상을 부여한) ${\displaystyle V\oplus W}$ 속의 닫힌집합이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

닫힌 그래프 선형 변환
⇕
연속 선형 변환
⇕
유계 작용소	⇐	전사 유계 작용소	⇒	열린 유계 작용소
⇑		⇑
단사 유계 작용소	⇐	전단사 유계 작용소	⇒	닫힌 유계 작용소
		⇕
		위상 동형 유계 작용소

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간	⇒	${\displaystyle \mathbb {K} }$-반사 바나흐 공간	⇒	${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간
⇓				⇓
${\displaystyle \mathbb {K} }$-내적 공간	⟹			${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

모든 분해 가능 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간은 르베그 공간 ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$의 몫공간이다. 즉, ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}$에 닫힌 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-부분 벡터 공간 ${\displaystyle M}$이 존재하여, ${\displaystyle X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M}$이다.^[9]

바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$에 대하여 다음이 성립한다.

• 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle K}$ 및 등거리 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}^{0}(K,\mathbb {K} )}$가 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle V}$가 분해 가능 공간이라면, 등거리 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}^{0}([0,1],\mathbb {K} )}$가 존재한다.

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {C}^{0}(-,\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in K}|f(x)|}$

이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 ${\displaystyle V'}$의 단위 닫힌 공 ${\displaystyle K=\operatorname {ball} _{V'}(0,1)}$을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여 연속 함수

${\displaystyle K\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle f\mapsto f(v)}$

는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수

${\displaystyle V\to {\mathcal {C}^{0}(K)}$

${\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(x))}$

를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 ${\displaystyle V}$가 추가로 분해 가능 공간이라면, ${\displaystyle {\mathcal {C}^{0}(K,\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}^{0}([0,1],\mathbb {R} )}$의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

바나흐-마주르 콤팩트 공간(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.

자연수 ${\displaystyle n}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 및 두 ${\displaystyle n}$차원 실수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환들의 공간 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V,W)}$을 생각할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$ 사이의 바나흐-마주르 거리(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다.

${\displaystyle d(V,W)=\ln _{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|}$

여기서 ${\displaystyle \|T\|}$는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. ${\displaystyle n}$차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 유한 차원 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}$ 위에 노름

${\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}$

를 부여하면, 이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 확장된 실수 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$에 대하여, 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

수렴 수열 공간 ${\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}$과 영 수렴 수열 공간 ${\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}$은 둘 다 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}$에 대하여,

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }\qquad (v\in {\mathcal {H})}$

로 노름을 정의하면 이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다.

콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의, ${\displaystyle \mathbb {K} }$값의 연속 함수들의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간

${\displaystyle {\mathcal {C}^{0}(X,\mathbb {K} )}$

에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|}$

이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 대수를 이룬다.

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.^[10] 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,^[11]:238 이듬해 율리우시 샤우데르^[12]가 개량하였다.^{[13]:261, §5.4[14]:466, §14.4}

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• “Open-mapping theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Banach-Mazur compactum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein. “Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
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• “Predual of a direct sum of Banach spaces” (영어). Math Overflow. 
• “Is there a simple direct proof of the Open Mapping Theorem from the Uniform Boundedness Theorem?” (영어). Math Overflow.