수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.
정의
체
가 자기 동형
![{\displaystyle {\bar {\quad }\colon K\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1f0b163a2601105c9a90be8929875b559d648f)
를 가진다고 하자.
위의 유한 차원 벡터 공간
와,
위의 비퇴화 반쌍선형 형식
![{\displaystyle Q\colon V\times V\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa2b565d0d04846b5671b382235f5ab89492022)
![{\displaystyle Q(au+bv,w)={\bar {a}Q(u,w)+{\bar {b}Q(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c577752c6862ea7a0c177d94298a0ea2b603181)
![{\displaystyle Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291a2e86082a73b350c8867e19099b4455a81337)
가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군
는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.
![{\displaystyle \operatorname {SU} (V,Q)=\{M\in \operatorname {SL} (V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf89194d6337a3cb132f3db635de16393b15e06)
특히, 만약
가
차원 벡터 공간이며,
가 자명한 항등 이차 형식
![{\displaystyle Q(u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {u}v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0faa89d26f07769524d4750c42279e74fe66495)
일 경우, 이를
라고 쓴다. 만약
를 생략하는 경우,
를 뜻한다.
또한, 만약
이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며,
가
차원 복소수 벡터 공간이며,
의 계량 부호수가
라면, 이는
라고 쓴다.
리 대수
의 리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {su}(n;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}(n;K)\colon M^{\dagger }=-M\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db41b587af47f330fcb26544adc2aa9335314a6)
은
반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서
은
에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.
특히,
는 파울리 행렬로 생성되며,
는 겔만 행렬로 생성된다.
SU*(2n)
의 경우,
또는
로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
체
위의 벡터 공간
위에 심플렉틱 구조
![{\displaystyle \Omega \in \operatorname {GL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a05acebab7d68a30a5bcf443eac1b0a1ad757f6)
![{\displaystyle \Omega ^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9764940235e14973948b0b2a2d21ca450e229fe0)
![{\displaystyle \Omega =-\Omega ^{\top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601897eb19be5a5a9595b6e439f5f36f69cdcad9)
가 주어졌다고 하자. (만약
가 유한 차원일 때,
는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서
를
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}\in \operatorname {Mat} (2n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141370307c15da1fb5a19f89934cfca33067e2e0)
의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)=\{M\in \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )\colon {\bar {M}\Omega =\Omega M\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be92e6903bec2c757a5e5e19339581b8ace11dda)
![{\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(2n)=\operatorname {U} ^{*}(2n)\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba881cc73aee1c589b278509355f0a33b9c962b7)
만약
일 때,
의 실수 리 대수는
의 실수 형태이다.
일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간
위의 사원수 선형 변환의 리 군
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {Aut} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {U} ^{*}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ed9dc1492dcffa55e638c861a80b88f2d89879)
을 생각하자. 이는 실수
차원의 리 군이다. 이제, 임의의
![{\displaystyle \iota \in \{q\in \mathbb {H} \colon q^{2}=-1,\;{\bar {q}=-q\}=\{v_{1}\mathrm {i} +v_{2}\mathrm {j} +v_{3}\mathrm {k} \colon v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=1\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67113fff27bfd1624f80e9452c0c5e134f44e2c8)
는
의 복소구조
![{\displaystyle j\colon q\mapsto \iota q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0c7c58a99644de81f65564046827a8be3dfbfd)
를 정의하며, 이 복소구조에 대하여
![{\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )=\operatorname {SU} ^{*}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79356100d10a8ed15ff51b84af7f447406c2d489)
를 정의할 수 있다. 이 정의는
의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.
성질
군론적 성질
특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots ,n-1\}\cong \mathbb {Z} /n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74503ab4f54b908f31e8c6995d5cf67e7b45a08e)
중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군(영어: projective special unitary group)이라고 한다.
![{\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /n\cong \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {PSU} (n)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce8ffe7965fdd38efcd45e758d7e8428b96438f)
리 이론적 성질
특수 유니터리 군
은
차원 단순 리 군이며, 계수는
이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는
이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.
![{\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9afed2906fca9a7611fc5a20bbcedb5174bf060)
특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.
![{\displaystyle \left\{\operatorname {diag} \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n-1},\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}^{-1}\right)\colon \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n-1}\in \operatorname {U} (1)\right\}\subset \operatorname {SU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c3b5c7484755bc480be4199d08716b660fdcb6)
특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SU} (n))=\operatorname {Sym} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d48e15f5194099bb15e9f73c0ce598b3205b64)
대칭군
은
차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인
차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은
차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.
위상수학적 성질
은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.
는 3차원 초구
와 위상동형이다.
포함 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
. 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는
딘킨 도표에서
로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
![{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }-\bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-\bullet -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5ef411b075a316c48a0f4886bc6331643d6cdc)
. 이는 실수
행렬을 복소수
행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
. 이는
딘킨 도표에서
로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
![{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}-\circ \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ff7830eb33e3078d3b5d9c1f8e4eb83e8109b7)
. 이는
의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.
![{\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\rangle \bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\Leftarrow \bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818e8cf8f274dffd861b4a5572aab8bafc86ab8d)
.[1]:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서,
로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점
을 제거하여 얻는다.
![{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5504e83368e261e64b0357ad6576d86614c2b9)
.[1]:§5.11 이는 E8의
자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서,
로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점
을 제거하여 얻는다.
![{\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b17abcaac5863aaaaddcd098de4b0aa8ffca73)
![{\displaystyle G_{2}\supset \operatorname {SU} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203126d0ea2f86541be6d2400652ce26be894341)
예외적 동형
낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851913cdb87d702943d945505aa3c398eae849cb)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9212fa6dc20160841189ecad144aef6899c2ba8f)
![{\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38844a5152c60eed88a38f573ee1387c8fbfe2c8)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2929b589eb60efaf0061ca34809d431005904e8d)
![{\displaystyle \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e74781e45e054693bcbd489fbdcbcf5c82f231)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea40af5613ebf345d340b4c3aaacaf21d41a278a)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a5c64c2822c7fc7aee90bf23bda83279b63a55)
![{\displaystyle \operatorname {PSU} (4)\cong \operatorname {PSO} (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b82227d163f8586f48fd32076812222fc07232e)
표현론
의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(영어: defining representation)
은
차원 표현이며, 그 켤레
역시
차원 표현이다. 또한,
차원 딸림 표현이 항상 존재한다.
의 표현들은 매우 간단하며, 반정수
에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.
응용
SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.
각주
외부 링크
같이 보기