파울리 행렬

수학과 물리학에서 파울리 행렬(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 ${\displaystyle \sigma _{1}$, ${\displaystyle \sigma _{2}$, ${\displaystyle \sigma _{3}$로, 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.}$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 ${\displaystyle {\mathfrak {su}_{2}$의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.^[1]

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.

${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}$ : 에르미트 행렬

${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }\sigma _{i}=I}$ : 유니타리 행렬

여기서 ${\displaystyle I}$는 단위행렬이다.

증명 : 파울리 행렬은 에르미트 행렬이다.

${\displaystyle \sigma _{1}^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&{\bar {1}\\{\bar {1}&0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\sigma _{1}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&{\bar {i}\\{\bar {-i}&0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}=\sigma _{2}$ ${\displaystyle \sigma _{3}^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\bar {1}&0\\0&{\bar {-1}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\sigma _{3}$

증명 : 파울리 행렬은 유니타리 행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로, ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}$ 이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다. ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=I}$ 위의 증명은 아래와 같다. ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}0+1&0+0\\0+0&1+0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}0+(-i)\times i&0+0\\0+0&i\times (-i)+0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I}$ ${\displaystyle \sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1+0&0+0\\0+0&0+(-1)^{2}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I}$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I}$

파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{for}\ i=1,2,3\end{matrix}$

이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다.

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{a},\sigma _{b}]&=&2i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\\[1ex]\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=&2\delta _{ab}\cdot I\end{matrix}$

여기서 ε_abc는 레비치비타 기호, δ_ab는 크로네커 델타이며, ${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]}$는 리 괄호이다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}\cdot I+i\sum _{c}\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,}$.

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{2}&=&i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=&i\sigma _{1},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=&-i\sigma _{3},\\\sigma _{1}\sigma _{1}&=&I.\\\end{matrix}$

이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =\sigma _{1}{\hat {x}+\sigma _{2}{\hat {y}+\sigma _{3}{\hat {z}\,}$

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {\sigma } )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i\mathbf {\sigma } \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\quad \quad \quad \quad \,}$

증명

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {\sigma } )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {\sigma } )\,}$ ${\displaystyle =a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\,}$ ${\displaystyle =a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\,}$ ${\displaystyle =a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\,}$ ${\displaystyle =a_{i}b_{j}\delta _{ij}\cdot I+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\,}$ ${\displaystyle ={\vec {a}\cdot {\vec {b}+i{\vec {\sigma }\cdot ({\vec {a}\times {\vec {b})\,}$

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 ${\displaystyle \textstyle {\hat {n}$, 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.

${\displaystyle e^{i(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\sigma } )}=\cos {a}+i({\hat {n}\cdot \mathbf {\sigma } )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad }$

증명

먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해 ${\displaystyle ({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })^{2n}=I\,}$ 이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는 ${\displaystyle ({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })^{2n+1}={\hat {n}\cdot {\vec {\sigma }\,}$ 임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계 ${\displaystyle e^{ix}\,}$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}{n!}\,}$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}{(2n+1)!}\,}$ 를 이용하고 x에 ${\displaystyle x=a({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })\,}$ 을 대입하면, ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })^{2n}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })^{2n+1}{(2n+1)!}\,}$ ${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}{2n!}+i({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}{(2n+1)!}\,}$ 을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서, ${\displaystyle e^{ia({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })}=\cos {a}+i({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })\sin {a}\,}$ 이다.

파울리 행렬은 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {su}(2)}$ (또는 ${\displaystyle {\mathfrak {a}_{1}$)의 발생원이다, 즉

${\displaystyle [{\frac {\sigma ^{i}{2},{\frac {\sigma ^{j}{2}]=\epsilon ^{ijk}\cdot {\frac {\sigma ^{k}{2}$

이므로, 그 구조 상수는 ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}$이다.

파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다

${\displaystyle \{\sigma ^{i},\sigma ^{j}\}=2\delta ^{ij}$

따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

• 디랙 행렬
• 각운동량
• 겔만 행렬
• 푸앵카레 군
• 블로흐 구면
• 오일러의 네 제곱수 항등식
• 교환 행렬

• “Pauli matrices”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pauli matrices”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “대문”. 《수학노트》.