Macierze Pauliego

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej^[1]:

${\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}\right],}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&~~~0\end{matrix}\right],}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&~~~0\\0&-1\end{matrix}\right].}$

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń ${\displaystyle \sigma _{x}\equiv \sigma _{1},}$ ${\displaystyle \sigma _{y}\equiv \sigma _{2}$ i ${\displaystyle \sigma _{z}\equiv \sigma _{3}.}$

Czasem używa się również symbolu σ₀ na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru ${\displaystyle 2{\times }2,}$ choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem ${\displaystyle I,}$ tj.

${\displaystyle I=\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}\right].}$

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:

• w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz
• w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze ${\displaystyle 2{\times }2.}$

Niech ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

${\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&\!\!\!\!-1,\\\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0,\end{matrix}$

gdzie ${\displaystyle i=1,2,3.}$

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}^{2}&=I,\\\sigma _{1}\sigma _{2}&=i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=-i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=i\sigma _{1},\end{aligned}$

itd.

b) Ogólnie mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}&=I\cdot \delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\end{aligned},}$

gdzie ${\displaystyle i,j=1,2,3.}$

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3},\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1},\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2},\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0,\end{aligned}$

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i},}$

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}.}$

Ogólnie mamy:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\sum _{k}\,\epsilon _{ijk}\,\sigma _{k},}$

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}I,}$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}$ – symbol Leviego-Civity,

${\displaystyle \delta _{ij}$ – delta Kroneckera.

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

${\displaystyle -i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=I.}$

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{x}\equiv \sigma _{1}{:}$

${\displaystyle \psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}{\binom {1}{1},\quad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}{\binom {1}{-1},}$

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{y}\equiv \sigma _{2}{:}$

${\displaystyle \psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}{\binom {1}{i},\quad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}{\binom {1}{-i},}$

– dla macierzy ${\displaystyle \sigma _{z}\equiv \sigma _{3}{:}$

${\displaystyle \psi _{z+}={\binom {1}{0},\quad \psi _{z-}={\binom {0}{1}.}$

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

${\displaystyle {\vec {\sigma }=\sigma _{1}{\hat {x}+\sigma _{2}{\hat {y}+\sigma _{3}{\hat {z},}$

gdzie ${\displaystyle {\hat {x},{\hat {y},{\hat {z}$ – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor ${\displaystyle {\vec {a},}$ taki że

${\displaystyle {\vec {a}=a_{1}{\hat {x}+a_{2}{\hat {y}+a_{3}{\hat {z}.}$

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ${\displaystyle {\vec {a}$ ma postać:

${\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {\sigma }=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}.}$

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

${\displaystyle a_{1}\sigma _{1}=\sigma _{1}a_{1}={\begin{bmatrix}0&a_{1}\\a_{1}&0\end{bmatrix}.}$

${\displaystyle ({\vec {a}\cdot {\vec {\sigma })({\vec {b}\cdot {\vec {\sigma })=({\vec {a}\cdot {\vec {b})\,I+i{\vec {\sigma }\cdot ({\vec {a}\times {\vec {b})\qquad \qquad (1)}$

oraz

${\displaystyle e^{i({\vec {a}\cdot {\vec {\sigma })}=I\cos {a}+i({\hat {n}\cdot {\vec {\sigma })\sin {a},\qquad \qquad \qquad (2)}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\vec {a}=a{\hat {n},}$
• ${\displaystyle {\hat {n}$ – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako ${\displaystyle X,Y,Z}$ kolejno dla ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}.}$

• równanie Pauliego
• spinor Pauliego

Inne:

• algebra Liego
• kwaterniony
• macierze Diraca
• wektor Blocha

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pauli Matrices, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Macierze Pauliego (ang.) w encyklopedii PlanetMath
• Pauli matrices (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].