Ermito polinomas

Ermito polinomas matematikoje – polinomas, priklausantis ortogonalių polinomų sekai,^[1] kurį atsiranda tikimybių teorijos problemose, kombinatorikoje bei fizikoje.

Apibrėžimas

Ermito polinomai yra apibrėžiami arba sąryšiu

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}{dx^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

("tikimybiniai Ermito polinomai"), arba kartais kitu sąryšiu

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}{\frac {d^{n}{dx^{n}e^{-x^{2}\,\!}$

("fizikiniai Ermito polinomai"). Šie du apibrėžimai nėra tiksliai vienodi, vienas yra kito mastelio keitimas

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {fiz} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {tik} }({\sqrt {2}\,x).\,\!}$

Tradiciškai matematikoje naudojamas pirmas apibrėžimas, kadangi

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }e^{-x^{2}/2}$

yra tikimybės tankio funkcija normaliam skirstiniui su tikėtina vertė 0 ir standartiniu nuokrypiu 1.

Pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal tikimybių teorijoje naudojamą apibrėžimą:

${\displaystyle H_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,}$

${\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}$

${\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}$

${\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}$

${\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}$

${\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}$

${\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}$

${\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}$

ir pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal fizikoje (kvantinėje mechanikoje) naudojamą apibrėžimą:

${\displaystyle H_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}$

${\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}$

${\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}$

${\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}$

${\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}$

${\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}$

Taip pat skaitykite

• Gauso pluoštas
• Ermito ir Gauso pluoštas

Šaltiniai