Determinants

Lineārajā algebrā determinants ir lielums, ko var piekārtot jebkurai kvadrātveida matricai. Matricas A determinantu parasti apzīmē ar det(A) vai |A| un to var izteikt kā polinomu no matricas A elementiem.

Determinants ir definēts jebkurai kvadrātveida matricai pār komutatīvu gredzenu R (piemēram, veseli, reāli vai kompleksi skaitļi). Funkciju ƒ: R^n×n → R, kas n×n matricām pār gredzenu R piekārto elementus no R, sauc par determinantu, ja tai izpildās šādas trīs īpašības:

1. ƒ(I) = 1, kur I ir n×n vienības matrica (šeit 1 apzīmē gredzena R vienības elementu),
2. funkcija ƒ ir lineāra attiecībā pret matricas rindiņām (skatīt zemāk),
3. ƒ(A) = 0, ja jebkuras divas matricas A rindiņas ir vienādas (šeit 0 apzīmē gredzena R nulles elementu).

Var pierādīt, ka eksistē viena vienīga funkcija ƒ, kurai izpildās šīs trīs īpašības.^[1] Šo funkciju parasti apzīmē ar "det".

Ja A ir n×n matrica un ar r_i apzīmē rindas vektoru, kas vienāds ar šīs matricas i-to rindiņu, tad matricu A var pierakstīt šādi:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{n}\end{bmatrix}.}$

Funkciju ƒ: R^n×n → R sauc par lineāru attiecībā pret matricas rindiņām, ja tai izpildās šāda īpašība:

${\displaystyle f{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\\alpha r_{i}+\beta r'_{i}\\\vdots \\r_{n}\end{bmatrix}\end{pmatrix}=\alpha f{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r_{i}\\\vdots \\r_{n}\end{bmatrix}\end{pmatrix}+\beta f{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}r_{1}\\r_{2}\\\vdots \\r'_{i}\\\vdots \\r_{n}\end{bmatrix}\end{pmatrix},}$

kur α un β ir patvaļīgi gredzena R elementi un i ir vesels skaitlis no 1 līdz n.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}\\&=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}$

Piemēram, ja

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{pmatrix}$

tad

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\bigl (}(-2)\cdot 1\cdot (-1){\bigr )}+{\bigl (}2\cdot 3\cdot 2{\bigr )}+{\bigl (}(-3)\cdot (-1)\cdot 0{\bigr )}\\&-{\bigl (}2\cdot 1\cdot (-3){\bigr )}-{\bigl (}0\cdot 3\cdot (-2){\bigr )}-{\bigl (}(-1)\cdot (-1)\cdot 2{\bigr )}\\&=2+12+0-(-6)-0-2=18.\end{aligned}$

Lai aprēķinātu determinantu 3×3 matricai, var izmantot Sarusa metodi.

Determinantu n×n matricai

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}$

var izteikt kā polinomu no tās elementiem a_i,j. Šo polinomu parasti apzīmē ar det(A) un tas satur n! saskaitāmos. Katrs no šiem saskaitāmajiem ir vai nu ar plus vai mīnus zīmi un sastāv no n matricas Aelementu reizinājuma (pa vienam no katras rindas un kolonnas). Šo polinomu var izteikt ar vairāku ekvivalentu formulu palīdzību.

Bieži vien determinantu definē ar Leibnica formulas palīdzību:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\cdots a_{n,\sigma (n)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}.\end{aligned}$

Šajā formulā S_n apzīmē simetrisko grupu jeb kopu, kas sastāv no visām n elementu permutācijām, sgn(σ) ir permutācijas σ zīme, σ(i) ir skaitlis no 1 līdz n, uz kuru σ attēlo i.

Intuitīvi par permutāciju σ var domāt kā par virkni garumā n, kas satur skaitļus no 1 līdz n patvaļīgā secībā tā, ka katrs skaitlis parādās tieši vienu reizi; S_n ir kopa no visām šādām virknēm, σ(i) ir i-tais skaitlis virknē σ, bet zīme sgn(σ) ir vienāda ar +1 vai -1, atkarībā no tā vai virknē σ esošos skaitļus nepieciešams mainīt vietām pāra vai nepāra skaitu reižu, lai to sakārtotu augošā secībā.

Leibnica formulā esošā summa ir pār visām virknēm σ garumā n, kurā katrs no skaitļiem no 1 līdz n parādās tieši vienu reizi. Šo summu var pārrakstīt tā, lai tajā parādītos visas iespējamās virknes garumā n (tā satur skaitļus no 1 līdz n un katrs no tiem drīkst parādīties patvaļīgi daudz reižu — sākot no nevienas, līdz pat n reizēm). Šī summa sastāv no nⁿ saskaitāmajiem, taču lielākā daļa no tiem ir vienāda ar nulli:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det A&=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}a_{1,i_{1}a_{2,i_{2}\cdots a_{n,i_{n}\\&=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}\prod _{k=1}^{n}a_{k,i_{k}.\end{aligned}$

Šajā formulā ${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}$ ir Levi-Čivita simbols, kas ir vienāds ar 0, ja virkne i₁i₂…i_n nav permutācija, bet pretējā gadījumā ir vienāds ar šīs permutācijas zīmi.

Ja A = (a_1,1) ir 1×1 matrica, tad det(A) = a_1,1. Lielākām matricām determinantu var aprēķināt rekursīvi ar Laplasa formulas palīdzību. Tā izsaka dotās matricas determinantu kā funkciju no mazāku apakšmatricu determinantiem. Šo procesu sauc par determinanta izvirzīšanu pēc attiecīgās rindiņas vai kolonnas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.\end{aligned}$

Pirmajā izteiksmē indekss i ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc i-tās rindiņas, bet otrajā izteiksmē indekss j ir fiksēts un tā atbilst izvirzījumam pēc j-tās kolonnas. Šajās formulās M_i,j apzīmē determinantu apakšmatricai, kas iegūta atmetot matricas A i-to rindiņu un j-to kolonnu (šos lielumus sauc par matricas A minoriem).

Paralelograma laukums ir vienāds ar determinanta absolūto vērtību matricai, kas sastāv no paralelogramu veidojošajiem vektoriem.

• Permanents

Latviski:

Angliski:

• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (3 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796412-6, Nodaļa VI, Determinants, 140. lpp.
• Lang, Serge (1986), Introduction to Linear algebra, Undergraduate texts in mathematics (2 izd.), Springer, ISBN 978-0-38-796205-4, Nodaļa VII, Determinants, 195. lpp.

Vāciski:

• Artin, Michael (1998), Algebra, Grundstudium Mathematik (2 izd.), Birkhäuser, ISBN 978-3-76-435938-6, Nodaļa 1.3, Determinanten, 20. lpp.

• Eric W. Weisstein, Determinant, MathWorld.

s d l Lineārā algebra Pamata koncepti Skalārs lielums Vektors Vektoru telpa Skalāra reizināšana Vektora projekcija Lineārais sprīdis Lineārais plāns Lineārā projekcija Lineārā neatkarība Lineārā kombinācija Bāze Bāzes maiņa Rindu un kolonnu vektori Rindu un kolonnu lauki Kodols Īpašvērtības un īpašvektori Transponēšana Lineārie vienādojumi Matricas Bloks Sadalīšana Apgrieztā Minors Reizināšana Ranks Transformācija Krāmera formulas (likums) Gausa izslēgšanas metode Bilinearitāte Ortogonalitāte Skalārais reizinājums Iekšējā reizinājuma telpa Vektoriāls reizinājums Grama–Šmita process Multilineārā algebra Determinants Vektoriālais reizinājums Jauktais reizinājums Septiņu-dimensiju vektoriālais reizinājums Ģeometriskā algebra Ārējā algebra Bivektors Multivektors Tenzors Outermorfisms Vektoru lauka konstrukcijas Duāla Tiešā summa Funkcijas telpa Koeficients Apakšlauks Tenzorreizinājums kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā Peldošo punktu Skaitliskā stabilitāte Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Retināta matrica Lineārās algebras programmatūras bibliotēkas Kategorija Wikibook (En) Wikiversity (En)