Lineārā neatkarība

Lineārā neatkarība ir vektoru sistēmas īpašība, ka neeksistē netriviāla lineāra kombinācija šiem vektoriem, kas vienāda ar nulles vektoru. Ja šāda lineāra kombinācija eksistē, tad vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu. Šie koncepti ir svarīgi, lai definētu dimensijas.

Vektoru sistēmu ${\displaystyle {\vec {a}_{1},{\vec {a}_{2},...,{\vec {a}_{n}$ vektoru telpā ${\displaystyle V}$ sauc par lineāri atkarīgu, ja eksistē skalāri ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}$, kur vismaz viens nav nulle un izpildās izteiksme:

${\displaystyle k_{1}{\vec {a}_{1}+k_{2}{\vec {a}_{2}+...+k_{n}{\vec {a}_{n}={\vec {0}$

Šie nosacījumi pieņem, ka vismaz viens skalārs nav nulle, piemēram, ${\displaystyle k_{1}\neq 0}$, tad šo izteksmi var pārrakstīt:

${\displaystyle {\vec {a}_{1}={\frac {-k_{2}{k_{1}{\vec {a}_{2}+...+{\frac {-k_{n}{k_{1}{\vec {a}_{n}$, ja ${\displaystyle n>1}$ un ${\displaystyle {\vec {a}_{1}={\vec {0}$, ja ${\displaystyle n=1}$.

Līdz ar to vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, ja viens no vektoriem ir nulles vektors vai viens no šiem vektoriem ir lineāra kombinācija ar citiem vektoriem. Citādi, vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.^[1]

Var pierādīt dažas teorēmas, kurām ir ģeometriskas interpretācijas:

• Teorēma: divi nenulles vektori ${\displaystyle {\vec {a},{\vec {b}$ ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja šie vektori ir kolineāri.

Nepieciešamība: vektori ir lineāri atkarīgi, tātad ${\displaystyle k_{1}{\vec {a}+k_{2}{\vec {b}={\vec {0}$, kur ${\displaystyle k_{1},k_{2}\neq 0}$. No šī izriet, ka ${\displaystyle {\vec {a}=-{\frac {k_{2}{k_{1}{\vec {b}$, līdz ar to vektori ir vērsti vienā virzienā un ir kolineāri.

Pietiekamība: vektori ir kolineāri, tātad ${\displaystyle {\vec {a}=\lambda {\vec {b}$, jeb ${\displaystyle {\vec {a}-\lambda {\vec {b}={\vec {0}$, līdz ar to izpildās lineārās atkarības nosacījums, kur

${\displaystyle k_{1}=1,k_{2}=-\lambda }$. Tātad vektori ir lineāri atkarīgi.

• Teorēma: trīs nenulles vektori ${\displaystyle {\vec {a},{\vec {b},{\vec {c}$ ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja šie vektori ir komplanāri.

Nepieciešamība: vektori ir lineāri atkarīgi, tātad ${\displaystyle k_{1}{\vec {a}+k_{2}{\vec {b}+k_{3}{\vec {c}={\vec {0}$, kur ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}\neq 0}$. No šī izriet, ka ${\displaystyle {\vec {a}=-{\frac {k_{2}{k_{1}{\vec {b}-{\frac {k_{3}{k_{1}{\vec {c}$, var apzīmēt ${\displaystyle -{\frac {k_{2}{k_{1}=\lambda _{1},=-{\frac {k_{3}{k_{1}=\lambda _{2}$ un novietot vektorus ${\displaystyle {\vec {b},{\vec {c}$ tā, lai tiem ir kopīgs sākumpunkts. Līdz ar to vektors ${\displaystyle {\vec {a}$ ir diagonāle ${\displaystyle {\vec {b},{\vec {c}$ veidotajam paralelogrammam un vektori ir komplanāri. Ja ${\displaystyle {\vec {b},{\vec {c}$ vektori ir kolineāri, tad ${\displaystyle {\vec {a}$ arī būs kolineārs un attiecīgi arī komplanārs.

Pietiekamība: vektori ir komplanāri, tātad tos var novietot vienā plaknē. Ja divi no vektoriem ir kolineāri, piemēram, ${\displaystyle {\vec {a}=\lambda {\vec {b}$, tad var izveidot lineāru kombināciju ${\displaystyle {\vec {a}-\lambda {\vec {b}+0\cdot {\vec {c}={\vec {0}$, tā kā ir vismaz viens nenulles koeficients, tad vektori ir lineāri atkarīgi. Ja nav neviena divu vektora pāra, kuri ir kolineāri, tad visus vektorus var novietot tā, ka tiem ir kopīgs sākumpunkts un var izvēlēties vienu vektoru, piemēram, ${\displaystyle {\vec {a}$, kuru var uzrakstīt kā lineāru kombināciju ar pārējiem vektoriem ${\displaystyle \lambda _{1}{\vec {b}+\lambda _{2}{\vec {c}={\vec {a}$, jeb ${\displaystyle -{\vec {a}+\lambda _{1}{\vec {b}+\lambda _{2}{\vec {c}={\vec {0}$ un ir vismaz viens nenulles koeficients, tātad vektori ir lineāri atkarīgi.^[1]

1. ↑ ^{1,0 1,1} Kārlis Šteiners, Biruta Siliņa. «Augstākā matemātika I». 80–81. lpp.

s d l Lineārā algebra Pamata koncepti Skalārs lielums Vektors Vektoru telpa Skalāra reizināšana Vektora projekcija Lineārā čaula Lineārais plāns Lineārā projekcija Lineārā neatkarība Lineārā kombinācija Bāze Bāzes maiņa Rindu un kolonnu vektori Rindu un kolonnu lauki Kodols Īpašvērtības un īpašvektori Transponēšana Lineārie vienādojumi Matricas Bloks Sadalīšana Apgrieztā Minors Reizināšana Rangs Transformācija Krāmera formulas (likums) Gausa izslēgšanas metode Bilinearitāte Ortogonalitāte Skalārais reizinājums Skalārā reizinājuma telpa Vektoriāls reizinājums Grama–Šmita process Multilineārā algebra Determinants Vektoriālais reizinājums Jauktais reizinājums Septiņu-dimensiju vektoriālais reizinājums Ģeometriskā algebra Ārējā algebra Bivektors Multivektors Tenzors Outermorfisms Vektoru lauka konstrukcijas Duāla Tiešā summa Funkcijas telpa Koeficients Apakšlauks Tenzorreizinājums kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā Peldošo punktu Skaitliskā stabilitāte Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Retināta matrica Lineārās algebras programmatūras bibliotēkas Kategorija Wikibook (En) Wikiversity (En)