Френелови интеграли

Френелови интеграли ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$ - математички трансцендентни функции кои Огистен-Жан Френел ги користел во оптиката. Се користат да ја опишат Френеловата дифракција, а се дефинирани со следните интеграли:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$

Со истовремен параметарски цртеж на двата интеграла се добива Ојлерова спирала.

Дефиниција

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}{(2n+1)!(4n+3)},}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}{(2n)!(4n+1)}.}$

Некои автори го користата ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}t^{2}$ како аргумент во интегралот при дефинирање на ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$. Тогаш интегралите се множат со ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }$, а аргументот x со ${\displaystyle ({\frac {\pi }{2})^{1/2}$.

Ојлерова спирала

Ојлеровата спирала е позната и како Корнуова спирала или клотоида, а се добива со параметарски приказ на ${\displaystyle S(t)}$ спрема ${\displaystyle C(t)}$. Со помош на дефинициите на Френеловите интеграли за dx и dy се добива:

${\displaystyle dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,}$

${\displaystyle dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,}$

Должината на спиралата мерена од извориштето може да се претстави како:

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}=\int _{0}^{t}{dt}=t}$

Својства

• ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$ се непарни функции
• Френеловите интеграли можат да се изразат преку функцијата на грешка ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$:

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }{4}\left({\sqrt {i}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}\,x)+{\sqrt {-i}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}\,x)\right)}$

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }{4}\left({\sqrt {-i}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}\,x)+{\sqrt {i}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}\,x)\right).}$

• Интегралите не можат да се пресметаат во затворена форма со помош на елементарни функции, освен во специјални случаи. Како x тежи кон бесконечност се добива:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }{4}={\sqrt {\frac {\pi }{8}.}$

Генерализација

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}\right)\sin({\frac {\pi }{2a})}{a}$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Френелови интеграли
• Френелови интеграли

Надворешни врски

• Cephes, Free and open-source software C++/C code to compute Fresnel integrals among other special functions. Used in SciPy and ALGLIB.
• Faddeeva Package, Free and open-source software C++/C code to compute complex error functions (from which the Fresnel integrals can be obtained), with wrappers for Matlab, Python, and other languages.
• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Fresnel integrals“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• „Roller Coaster Loop Shapes“. Архивирано од изворникот на September 23, 2008. Посетено на 2008-08-13.
• „Fresnel Integrals“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „Cornu Spiral“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)