Дериватив

Математикт дериватив нь функцийн гаралтын утга оролтын утгад хэр мэдрэмтгий өөрчлөгдөхийг тооцоолох суурь хэрэгсэл юм. Нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тодорхой цэг дээр авч үзэхэд, хэрэв дериватив оршин байвал тухайн цэг дээрх функцийн графикийн шүргэгч шулууны налуугаар тодорхойлогдоно. Шүргэгч шулуун нь тухайн цэгийн ойролцоо функцийн хамгийн сайн шугаман ойролцоо утгыг илэрхийлдэг. Энэ утгаараа деривативыг ихэвчлэн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурд, хамаарах хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хамаарал гэж нэрлэдэг. Деривативыг олох үйл явцыг дифференциац гэж нэрлэнэ.

Деривативыг тэмдэглэх олон төрлийн тэмдэглэгээ байдаг бөгөөд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр нь Лейбницийн тэмдэглэгээ болон прайм тэмдэглэгээ юм. Лейбницийн тэмдэглэгээ нь Готтфрид Вильхельм Лейбницийн нэрээр нэрлэгдсэн бөгөөд үүнийг хоёр дифференциалын харьцаагаар тэмдэглэдэг. Харин прайм тэмдэглэгээ нь функцийн тэмдэгийн хажууд прайм тэмдэг нэмснээр илэрхийлэгдэнэ. Өндөр эрэмбийн деривативуудыг дахин дахин дифференциац хийх замаар олдог бөгөөд Лейбницийн тэмдэглэгээнд дифференциалын дээд индекс нэмэх, прайм тэмдэглэгээнд нэмэлт прайм тэмдэг нэмэх замаар тэмдэглэдэг. Физикт өндөр эрэмбийн деривативуудыг ашигладаг: жишээлбэл, хөдөлгөөнт биетийн байрлалын хувьд анхны дериватив нь хурд буюу хугацааны явцад байрлал хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг бол хоёр дахь дериватив нь хурдатгал буюу хугацааны явцад хурд хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харуулна.

Деривативыг хэд хэдэн бодит хувьсагчийн функц руу өргөжүүлэх боломжтой. Энэ өргөтгөлд деривативыг шугаман хувиргалт гэж үздэг бөгөөд энэ нь (зохих шилжилт хийсний дараа) эх функцийн графикийн хамгийн сайн шугаман ойролцоо утга болдог. Якобийн матриц нь энэ шугаман хувиргалтыг хамаарах болон хараат хувьсагчийн сонгосон суурийн дагуу илэрхийлэх матриц юм. Үүнийг хараат бус хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативууд ашиглан тооцоолдог. Хэрэв функц нь хэд хэдэн хувьсагчийн бодит утга өгөх функц бол Якобийн матриц нь градиент векторт шилждэг.