Gumbel-verdeling
Gumbel
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters
μ
{\displaystyle \mu }
plaatsparameter (reëel)
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
schaalparameter (reëel)
Drager
x
∈
(
−
∞
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}
Kansdichtheid
1
β
z
e
−
z
{\displaystyle {\frac {1}{\beta }z\,e^{-z}
, waarin
z
=
e
−
x
−
μ
β
{\displaystyle z=e^{-{\frac {x-\mu }{\beta }
Verdelingsfunctie
e
−
z
{\displaystyle e^{-z}
met
z
{\displaystyle z}
als boven
Verwachtingswaarde
μ
+
β
γ
{\displaystyle \mu +\beta \,\gamma }
Mediaan
μ
−
β
ln
(
ln
(
2
)
)
{\displaystyle \mu -\beta \,\ln(\ln(2))}
Modus
μ
{\displaystyle \mu }
Variantie
π
2
6
β
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{6}\,\beta ^{2}
Scheefheid
12
6
ζ
(
3
)
π
3
≈
1
,
14
{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}\approx 1{,}14}
Kurtosis
12
5
{\displaystyle {\frac {12}{5}
Entropie
ln
(
β
)
+
γ
+
1
{\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1}
Moment- genererende functie
Γ
(
1
−
β
t
)
e
μ
t
{\displaystyle \Gamma (1-\beta \,t)\,e^{\mu \,t}
Karakteristieke functie
Γ
(
1
−
i
β
t
)
e
i
μ
t
{\displaystyle \Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,\mu \,t}
De gumbel-verdeling , genoemd naar de Duitse wiskundige Emil Julius Gumbel (1891–1966), is een kansverdeling die toepassing vindt als verdeling van een extreme waarde , zoals het maximum in een steekproef .
Definitie
De standaard gumbel-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie :
F
(
x
)
=
e
−
e
−
x
,
x
∈
R
{\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x},~x\in \mathbb {R} }
en kansdichtheid :
f
(
x
)
=
e
−
x
e
−
e
−
x
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x},~x\in \mathbb {R} }
Door hernormering ontstaat de gumbel-verdeling met parameters
μ
{\displaystyle \mu }
en
β
{\displaystyle \beta }
, waarvan de verdelingsfunctie wordt gegeven door:
F
(
x
;
μ
,
β
)
=
e
−
e
(
μ
−
x
)
/
β
,
x
∈
R
{\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{(\mu -x)/\beta },~x\in \mathbb {R} }
Eigenschappen
De verwachtingswaarde is
μ
+
γ
β
{\displaystyle \mu +\gamma \beta }
,
waarin
γ
{\displaystyle \gamma }
de constante van Euler is.
γ
≈
0,577
2
{\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}
De standaardafwijking is
π
6
β
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sqrt {6}\beta }
De mediaan is
μ
−
β
log
(
log
(
2
)
)
{\displaystyle \mu -\beta \log(\log(2))}
De modus is
μ
{\displaystyle \mu }
.
Gumbel-papier met een gumbel-verdeling.
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd