Gumbelova porazdelitev

Gumbelova porazdelitev
oznaka	${\displaystyle Gumbel(\mu ,\beta )\!}$
parametri	${\displaystyle \mu \!}$ parameter lokacije (realno število) ${\displaystyle \beta >0\!}$ parameter merila (realno število)
interval	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {z\,e^{-z}{\beta }\!}$ kjer je ${\displaystyle z=e^{-{\frac {x-\mu }{\beta }\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle \exp(-e^{-(x-\mu )/\beta })\!}$
pričakovana vrednost	${\displaystyle \mu +\beta \,\gamma \!}$
mediana	${\displaystyle \mu -\beta \,\ln(\ln(2))\!}$
modus	${\displaystyle \mu \!}$
varianca	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{6}\,\beta ^{2}\!}$
simetrija	${\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}\approx 1,14\!}$
sploščenost	${\displaystyle {\frac {12}{5}$
entropija	${\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1\!}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\displaystyle \Gamma (1-\beta \,t)\,e^{\mu \,t}\!}$
karakteristična funkcija	${\displaystyle \Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,\mu \,t}\!}$

Gumbelova porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena z dvema parametroma.

Imenuje se po nemškem matematiku Emilu Juliusu Gumbelu (1891 – 1966).

Gumbelova porazdelitev je poseben primer splošne porazdelitve ekstremnih vrednosti (znana kot Fisher-Tippettova porazdelitev) in dveh porazdelitev, ki sta znani kot logaritmična Weibullova in Laplaceova porazdelitev (tudi dvojna eksponentna porazdelitev).

Uporaba

Uporablja se za prikaz porazdelitve ekstremnih vrednosti (maksimumov in minimumov) različnih porazdelitev. Posebno vlogo ima pri modeliranju ekstremnih vrednosti, ki so povezane s poplavami in količino dežja ^[1]. Uporablja se tudi v gradbeništvu, kjer so še posebno zanimivi ekstremni pojavi ^[2].

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

${\displaystyle {\frac {z\,e^{-z}{\beta }\!}$

kjer je

• ${\displaystyle z=e^{-{\frac {x-\mu }{\beta }\!}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

${\displaystyle \exp(-e^{-(x-\mu )/\beta })\!}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

${\displaystyle \mu +\beta \,\gamma \!}$.

kjer je

• ${\displaystyle \gamma \!}$ Euler-Mascheronijeva konstanta, ki ima vrednost ${\displaystyle \approx }$ 0,5772156649015328606.

Varianca

Varianca je enaka

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{6}\,\beta ^{2}\!}$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

${\displaystyle \Gamma (1-\beta \,t)\,e^{\mu \,t}\!}$.

kjer je

• ${\displaystyle \Gamma \!}$ funkcija gama.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

${\displaystyle \Gamma (1-i\,\beta \,t)\,e^{i\,\mu \,t}\!}$.

Standardna Gumbelova porazdelitev

Standardno Gumbelovo porazdelitev dobimo, kadar je ${\displaystyle \mu =0\!}$ in ${\displaystyle \beta =1\!}$.

• V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti

${\displaystyle f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}.}$.

• Zbirna funkcija verjetnosti pa je

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}\,}$.

• Mediana je

${\displaystyle -\ln(\ln(1/2))\approx 0,366512}$.

• Pričakovana vrednost je

${\displaystyle \gamma \!}$, kar je Euler-Mascheronijeva konstanta

• Standardni odklon je

${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}\approx 1,28254983}$

• Modus pa je enak 0.

Opombe in sklici

Zunanje povezave

• Gumbelova porazdelitev na MathWorld (angleško)
• Opis Gumbelove porazdelitve Arhivirano 2009-11-09 na Wayback Machine. (angleško)
• Opis lastnosti Gumbelove porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev
• Gumbelova porazdelitev 1. tipa
• Gumbelova porazdelitev 2. tipa