Milinković-Savić werd geboren in het Spaanse Ourense en speelde in de jeugd bij het Oostenrijkse Grazer AK en het Servische FK Vojvodina. In april 2014 tekende hij zijn eerste profcontract. Anderhalve maand later tekende hij bij Manchester United, dat de doelman nog één seizoen zou verhuren aan FK Vojvodina. In november 2015 liet Manchester United de speler gaan omdat het er niet in slaagde om een werkvergunning voor hem te regelen. Op 26 november 2015 tekende Milinković-Savić bij het Poolse Lechia Gdańsk. Op 6 maart 2015 debuteerde hij in de Ekstraklasa tegen Jagiellonia Białystok.[3] In zijn eerste seizoen kwam de Serviër tot een totaal van elf competitieduels.