Talfølgje

Ei talfølgje er ei følgje der elementa er tal. Viss alle elementa er heiltal, blir følgja kalla ei heiltalsfølgje. Døme på slike følgjer er følgja av primtal og Fibonacci-tala; slike følgjer opptrer gjerne i talteori og kombinatorikk. Meir generelt kan elementa vere reelle eller komplekse tal. Slike følgjer opptrer ofte i analyse og nærskylde felt.

Det er vanleg å skrive ei følgje ved notasjonen

${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}.}$

Indekseringa byrjar vanlegvis anten med 0 eller 1.

Eigenskapar til følgje

• Ei følgje er monotont veksande viss kvart element er like stort eller større enn det føregåande; det vil seie viss ${\displaystyle a_{i}\leq a_{i+1}$. Viss berre element er større enn det føregåande, kallast følgja strengt monotont voksende. Omgrepa monotont fallande og strengt monotont falane blir analogt definert.

• Ei følgje er avgrensa ovanfrå viss følgja har ein øvre skranke; det vil seie at det finst eit tal ${\displaystyle S}$ slik at ${\displaystyle a_{i}\leq S}$ for alle ${\displaystyle i}$. Tilsvarande er ei følgje avgrensa nedanfrå viss følgja har ein nedre skranke.

• Ei følgje der annakvart element er positivt og annakvart element er negativt kallast ei alternerande følgje.
• Viss elementa til alle følgjene er like, er følgja ei konstant følgje.
• Viss følgja består av gjentakingar av ei endeleg delfølgje, blir følgja kalla periodisk.

Konvergens

Ei følgje blir sagt å konvergere mot eit tal ${\displaystyle a}$ om tala i følgja kjem nærare og nærare ${\displaystyle a}$ ettersom indeksen aukar. Formelt definerast dette slik:

Viss det for kvart opent intervall ${\displaystyle I}$ rundt ${\displaystyle a}$ finst eit tal ${\displaystyle N}$ slik at ${\displaystyle a_{n}\in I}$ for alle ${\displaystyle n\geq N}$, så konvergerer følgja mot ${\displaystyle a}$, som kallast grenseverdien til følgja.

Alternativt kan ein seie at kvart ope intervall ${\displaystyle I}$ rundt ${\displaystyle a}$ inneheld alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja. Viss følgja er ei følgje av komplekse tal, blir omegn nytta i staden for intervall.

Eit døme på ei konvergent følgje er følgja ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,\ldots \}$ som er definert ved at ${\displaystyle a_{n}=1/n}$ for ${\displaystyle n\geq 1}$. Grenseverdien til følgja er 0 fordi viss ein tek eit kva for eit som helst ope intervall som inneheld 0, vil alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja liggje innanfor intervallet. Ei følgje som ikkje konvergerer, blir sagt å divergere. Eit døme på ei divergent følgje er ${\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots \}$, der ${\displaystyle a_{n}=n}$; denne følgja er ikkje avgrensa og kan dermed ikkje konvergere. Eit anna døme er ${\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}$, der elementa er 0 og 1 annakvar gong.

Sjølv om ei følgje ikkje har nokon grenseverdi, kan han besitte opphopingspunkt. Verdien ${\displaystyle a}$ er eit opphopingspunkt for følgja ${\displaystyle \{a_{n}\}$ viss kvart intervall som inneheld ${\displaystyle a}$ inneheld uendeleg mange element i følgja. Følgja ${\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}$, som vart nemnt ovanfor har to opphopingspunk, nemleg 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelege følgjer er ein viktig del av grunnlaget for analyse. Blant anna er grenseverdien til funksjonar og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følgjer.

Kjelder