Funkcja Riemanna
Wykres dla przedziału [0,1]
Funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:
f
(
x
)
=
{
0
gdy
x
jest niewymierne
1
n
gdy
x
=
m
n
dla pewnego ułamka nieskracalnego
m
n
o dodatnim
n
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }x{\mbox{ jest niewymierne}\\{\frac {1}{n}&{\mbox{gdy }x={\frac {m}{n}{\mbox{ dla pewnego ułamka nieskracalnego }\,{\frac {m}{n}{\mbox{ o dodatnim }n\end{cases}
[1]
W szczególności,
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
dla wszystkich argumentów
x
{\displaystyle x}
całkowitych , ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka
m
n
=
x
{\displaystyle {\tfrac {m}{n}=x}
jest
x
1
.
{\displaystyle {\tfrac {x}{1}.}
Nazwa pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna , jednak występują też inne nazwy[1] .
Własności
Ciągłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny , i nieciągła w punktach wymiernych.
Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
ponieważ miara zbioru punktów nieciągłości jest równa 0. Ponadto,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=0.}
Zobacz też
Przypisy
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd