Macierz antyhermitowska

Macierz antyhermitowska – macierz kwadratowa ${\displaystyle A}$ o elementach zespolonych ${\displaystyle a_{i,j},}$ w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}.}$

Symbolicznie można to zapisać jako:

${\displaystyle A^{\dagger }=-A,}$

gdzie ${\displaystyle \dagger }$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy^[1][2].

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem)^[3].

Macierze antyhermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ tworzą algebrę Liego ${\displaystyle u(n),}$ która generuje grupę Liego ${\displaystyle U(n)}$ macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ tworzą algebrę Liego ${\displaystyle su(n),}$ która generuje grupę Liego ${\displaystyle U(n)}$ specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2+i\\-(2-i)&0\end{bmatrix},\ \ {\begin{bmatrix}-i&2+i\\-(2-i)&0\end{bmatrix}$

• Macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną ${\displaystyle i,}$ tj.

${\displaystyle i\sigma _{1}=i\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}\right],\ {}$ ${\displaystyle i\sigma _{2}=i\left[{\begin{matrix}0&&\!\!\!-i\\i&&0\end{matrix}\right],\ {}$ ${\displaystyle i\sigma _{3}=i\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&\!\!\!-1\end{matrix}\right].}$

• Wartości własne macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi.
• Macierze antyhermitowskie są macierzami normalnymi, stąd są one diagonalizowalne, a ich wektory własne dla różnych wartości własnych muszą być prostopadłe^[4][5].
• Elementy głównej przekątnej macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi^[6].
• Jeżeli ${\displaystyle A,B}$ są macierzami antyhermitowskimi, to ${\displaystyle a\,A+b\,B}$ jest macierzą antyhermitowską dla wszystkich skalarów ${\displaystyle a,b}$ rzeczywistych^[1].
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą antyhermitowską, to zarówno macierze ${\displaystyle i\,A}$ oraz ${\displaystyle -i\,A}$ są hermitowskie^[1].
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą antyhermitowską, to dla liczby parzystej ${\displaystyle k}$ macierz ${\displaystyle A^{k}$ jest hermitowska, a dla liczby nieparzystej ${\displaystyle k}$ macierz ${\displaystyle A^{k}$ jest antyhermitowska.

• Macierz ${\displaystyle \left(A+A^{\dagger }\right)}$ jest hermitowska.
• Macierz ${\displaystyle \left(A-A^{\dagger }\right)}$ jest antyhermitowska.

Wynika stąd, że:

• komutator macierzy hermitowskiej jest macierzą antyhermitowską, tj. ${\displaystyle \left[A,B\right]^{\dagger }=-\left[A,B\right],}$

• dowolną (kwadratową) macierz ${\displaystyle C}$ można jednoznacznie zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej ${\displaystyle A}$ i macierzy antyhermitowskiej ${\displaystyle B}$^[1]

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{gdzie}\quad A={\frac {1}{2}(C+C^{\dagger }),\ \ \quad B={\frac {1}{2}(C-C^{\dagger })}$

• Jeżeli macierz ${\displaystyle A}$ jest antyhermitowska, to ${\displaystyle e^{A}$ jest macierzą unitarną (por. eksponenta macierzy).
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ tworzy algebrę Liego ${\displaystyle u(n)}$ grupy macierzy unitarnych ${\displaystyle U(n).}$
• Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ bezśladowych (tj. o śladzie równym 0) tworzy algebrę Liego ${\displaystyle su(n)}$ specjalnej grupy macierzy unitarnych ${\displaystyle SU(n).}$

Macierze antyhermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ mają na przekątnej liczby urojone lub zera, a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są postaci ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle -{\overline {a},}$ gdzie ${\displaystyle {\overline {a}$ – liczba sprzężona do liczby ${\displaystyle a.}$

Macierze hermitowskie wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ mają więc ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ip_{1}&a&b&\cdots \\-{\overline {a}&ip_{2}&c&\cdots \\-{\overline {b}&-{\overline {c}&ip_{3}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} }$

gdzie:

• ${\displaystyle i}$ – jednostka urojona,
• ${\displaystyle {\overline {a},{\overline {b},{\overline {c},\dots }$ – sprzężenia zespolone liczb ${\displaystyle a,b,c,\dots }$

Macierze te zależą w ogólności od ${\displaystyle n^{2}$ parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową ${\displaystyle n^{2}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ zależą od ${\displaystyle n^{2}-1}$ parametrów (warunek ${\displaystyle Tr(A)=0}$ daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego ${\displaystyle su(n).}$ Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

– mają ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ip_{1}&a\\-{\overline {a}&ip_{2}\end{bmatrix},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,\;\;a\in \mathbb {C} .}$

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów ${\displaystyle \mathrm {re} \;a,\,\mathrm {im} \;a,\,p_{1},\,p_{2}$ i tworzą przestrzeń wektorową 4-wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle 2^{2}-1=3}$ – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną ${\displaystyle i..}$

– mają ogólną postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ip_{1}&a&b\\-{\overline {a}&ip_{2}&c\\-{\overline {b}&-{\overline {c}&ip_{3}\end{bmatrix},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,\;\;a,b,c\in \mathbb {C} .}$

Macierze te zależą w ogólności od ${\displaystyle 3^{2}=9}$ parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ${\displaystyle a,b,c}$) i tworzą przestrzeń wektorową ${\displaystyle 9}$ – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru ${\displaystyle 3\times 3}$ zależą od ${\displaystyle 3^{2}-1=8}$ parametrów i tworzą podprzestrzeń ${\displaystyle 8}$ -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna mnożone przez jednostkę urojoną ${\displaystyle i.}$

• macierz hermitowska
• specjalna grupa unitarna SU(n)

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Carl D. Meyer: Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.